Visualizza wikitesto di Buchi neri e Universo/3. La termodinamica dei buchi neri

{{Buchi neri e Universo}}

'''3. La [[w:termodinamica|termodinamica]] dei [[w:buchi neri|buchi neri]]'''

Il primo a sollevare il problema della compatibilità dei [[w:buchi neri|buchi neri]] con la [[w:termodinamica|termodinamica]] fu [[w:Wheeler|Wheeler]] che alla fine degli anni ‘60 formulò la congettura ''[[w:no hair|no hair]]'', secondo la quale la materia che cade in un [[w:buco nero|buco nero]] perde tutte le proprie caratteristiche distintive ad eccezione di [[w:massa|massa]], [[w:momento angolare|momento angolare]] e [[w:carica elettrica|carica elettrica]] (il nome deriva dall’icastica affermazione «I [[w:buchi neri|buchi neri]] non hanno peli»). Una conseguenza significativa era che lo stato termodinamico macroscopico di un [[w:buco nero|buco nero]] deriverebbe da un numero molto elevato di stati microscopici indifferenti, e che dunque questi oggetti dovrebbero possedere una [[w:entropia|entropia]] molto elevata. Nel 1972 [[w:Jacob D. Bekenstein|Jacob D. Bekenstein]], allora all’università di [[w:Austin|Austin]] in [[w:Texas|Texas]], sviluppando una osservazione di [[w:Demetrious Christodoulou|Demetrious Christodoulou]] secondo cui l’area dell’[[w:orizzonte degli eventi|orizzonte degli eventi]] di un [[w:buco nero|buco nero]] tende sempre ad aumentare ad ogni interazione con l’ambiente circostante, propose che l’[[w:entropia|entropia]] sia proporzionale al rapporto fra tale area e il quadrato della [[w:lunghezza di Planck|lunghezza di Planck]], e che di conseguenza i [[w:buchi neri|buchi neri]] abbiano anche una [[w:temperatura|temperatura]] inversamente proporzionale alla [[w:massa|massa]] [2].

La convinzione che nulla possa uscire dall’[[w:orizzonte|orizzonte]] di un [[w:buco nero|buco nero]] era tuttavia così radicata che [[w:Stephen W. Hawking|Stephen W. Hawking]], [[w:Brandon Carter|Brandon Carter]] e [[w:James Bardeen|James Baarden]], i quali pure avevano confermato i risultati di [[w:Christodoulou|Christodoulou]], ribadirono il principio derivante dalla [[Relatività Generale]] per cui, essendo il [[w:buco nero|buco nero]] un perfetto assorbitore di [[w:radiazioni|radiazioni]], la sua [[w:temperatura|temperatura]] deve essere pari a zero [1]; in seguito, però, lo stesso [[w:Hawking|Hawking]] scoprì che i [[w:buchi neri|buchi neri]] possono effettivamente emettere [[w:radiazione|radiazione]] [3]. Il [[w:campo gravitazionale|campo gravitazionale]] in prossimità dell’[[w:orizzonte|orizzonte]] è infatti così forte da creare dal vuoto coppie di [[w:particelle virtuali|particelle virtuali]] dalla vita effimera e non rilevabili direttamente; per il [[w:teorema di conservazione dell’energia|teorema di conservazione dell'energia]] una di esse dovrà avere una energia positiva e l’altra energia negativa. Se la particella con energia negativa percorre la distanza ''R<sub>BH</sub>'' che la separa dalla [[w:singolarità|singolarità]] in un tempo minore di quello consentito dal “prestito [[w:Heisenberg|Heisenberg]]” verrà assorbita dal [[w:buco nero|buco nero]], mentre l’altra, quella con energia positiva, diverrà reale e sfuggirà via all’infinito (il processo inverso, ovvero l’assorbimento da parte del [[w:buco nero|buco nero]] della particella con energia positiva e l’emissione di una particella con energia negativa, è impossibile in quanto per la [[w:Relatività Generale|Relatività Generale]] particelle con energia negativa non possono esistere nello [[w:spazio-tempo|spazio-tempo]] ordinario): il risultato netto è una diminuzione dell’[[w:energia|energia]] del buco e quindi della sua [[w:massa|massa]], con un progressivo aumento della [[w:temperatura|temperatura]], fino alla totale scomparsa. Con una serie di complessi calcoli relativi alla [[w:teoria quantistica dei campi|teoria quantistica dei campi]] [[w:Hawking|Hawking]] trovò le formule per la [[w:temperatura|temperatura]] e l’[[w:entropia|entropia]]:


<math>T_{BH}=\frac{hc^{3}}{4\pi k_{B}GM_{BH}}</math>   (<math>k_{B}</math> = costante di Boltzmann)     (3.1)


<math>S_{BH}=\frac{A_{BH}^{2}}{4 \ell_{P}^{2}}</math>     (3.2)


Fortunatamente è possibile giungere ad un risultato analogo in un modo più semplice. Le particelle virtuali hanno infatti una energia totale ''mc<sup>2</sup>'', data dalla somma dell’[[w:energia cinetica|energia cinetica]] ''2 mc<sup>2</sup>'' e dell’[[w:energia gravitazionale|energia gravitazionale]] ''–2GM<sub>BH</sub>m/R<sub>BH</sub> = –mc<sup>2</sup>''; dalla relazione <math>mc^{2}\times {R_{BH}}/{c}\ge h</math> si ricava la [[w:temperatura del buco nero|temperatura del buco nero]]


<math>T_{BH}=\frac{mc^{2}}{k_{B}}=\frac{\hbar c}{k_{B}R_{BH}}=\frac{\hbar c^{3}}{2k_{B}GM_{BH}}</math>     (3.3)


e dal rapporto fra la sua [[w:energia|energia]] totale ''M<sub>BH</sub>c<sup>2</sup>/2'' e quella delle [[w:particelle|particelle]] in cui esso evapora si ricava l’[[w:entropia|entropia]] come somma dei suoi stati microscopici, come ipotizzato da [[w:Bekenstein|Bekenstein]]:


<math>S_{BH}=\frac{M_{BH}c^{2}}{2}\times \frac{2GM_{BH}}{h c^{3}}=\frac{GM_{BH}^{2}}{h c}=\frac{M_{BH}^{2}}{M_{P}^{2}}=\frac{R_{BH}^{2}}{R_{P}^{2}}=\frac{c^{3}R_{BH}^{2}}{4hG}</math>     (3.4)


Come annunciato sopra, dalla relazione <math>M_{BH}c^2 = hc/R_{BH} = hc^3/2GM_{BH}</math> possiamo poi ricavare ''M<sub>P</sub>'' e tutte le altre [[w:unità di Planck|unità di Planck]].

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