Meccanica quantistica/Teoria delle perturbazioni

Perturbazioni indipendenti dal tempo

Correzioni del primo e del secondo ordine ai livelli energetici di un sistema quantistico soggetto a una perturbazione $\hat{V}$ indipendente dal tempo:

${ℰ}_n^{(1)}=V_{nn},{ℰ}_n^{(2)}=\sum _{m\ne n}\frac{{\left|V_{mn}\right|}^2}{{ℰ}_n^{(0)}-{ℰ}_m^{(0)}}$

Correzione del primo ordine alla funzione d'onda :

${\psi }_n^{(1)}=\sum _{m\ne n}\frac{V_{mn}}{{ℰ}_n^{(0)}-{ℰ}_m^{(0)}}{\psi }_m^{(0)}$

Le correzioni a un livello degenere sono determinate dall'equazione

$det(V_{n{n}^{\prime }}-{ℰ}^{(1)}{\delta }_{n{n}^{\prime }})=0$

Perturbazioni dipendenti dal tempo

Supponiamo ora che la perturbazione $\hat{V}$ dipenda esplicitamente dal tempo. Se all'istante iniziale il sistema si trova nell'n-esimo stato stazionario, la funzione d'onda del sistema a un istante qualsiasi, in prima approssimazione, è

${\mathrm{\Psi }}_n=\sum a_{kn}(t){\mathrm{\Psi }}_k^{(0)}$

dove

$a_{kn}^{(0)}={\delta }_{kn},a_{kn}^{(1)}=-\frac{i}{\hslash }\int V_{kn}{e}^{i{\omega }_{kn}t}dt$

(Dirac, 1926)

Transizioni per effetto di una perturbazione periodica

Probabilità di transizione a uno stato dello spettro continuo per effetto di una perturbazione periodica $\hat{V}={\hat{V}}_0{e}^{-i\omega t}+{\hat{V}}_0^{+}{e}^{i\omega t}$:

$d{w}_{fi}=\frac{2\pi }{\hslash }|V_{fi}{|}^2\delta ({ℰ}_f-{ℰ}_i^{(0)}-\hslash \omega )d{\nu }_f$

Transizioni nello spettro continuo

La probabilità di transizione tra stati dello spettro continuo per effetto di una perturbazione costante è data dalla regola d'oro di Fermi:

$d{w}_{fi}=\frac{2\pi }{\hslash }|V_{fi}{|}^2\delta ({ℰ}_f-{ℰ}_i)d{\nu }_f$

Correzione del primo ordine alla funzione d'onda:

${\mathrm{\Psi }}_i=({\psi }_i^{(0)}+\int \frac{V_{fi}}{{ℰ}_i-{ℰ}_f}{\psi }_f^{(0)}d{\nu }_f)\exp (-\frac{i}{\hslash }{ℰ}_{i}t)$