Visualizza wikitesto di Calcoli scientifici con Julia/Minimizzazione costi

{{Calcoli scientifici con Julia}}
La minimizzazione dei costi è un classico esempio di programmazione lineare che nella sua forma standard si esprime in 3 parti:
* Una '''funzione lineare da minimizzare''':
: <math> f(x_{1},x_{2}) = c_1 x_1 + c_2 x_2</math>
* '''Problema dei vincoli''' della seguente forma:

:: <math>\begin{matrix}
  a_{11} x_1 + a_{12} x_2 &\geq b_1 \\
  a_{21} x_1 + a_{22} x_2 &\geq b_2 \\
  a_{31} x_1 + a_{32} x_2 &\geq b_3 \\
\end{matrix}</math>
* '''Variabili non negative'''

:: <math>\begin{matrix}
 x_1 \geq 0 \\
 x_2 \geq 0
\end{matrix}</math>

Il problema è di solito espresso in forma matriciale nel seguente modo:
: <math>\min \{\, \mathbf{c}^\mathsf{T} \mathbf{x} \mid \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\land A \mathbf{x} \geq \mathbf{b} \land \mathbf{x} \geq 0 \,\}</math>

==Esempio di calcolo con Julia==
Un'azienda per produrre sedie ha bisogno di 3 tipi di unità di legno x1, x2, x3 che costano rispettivamente 10€ ,20€ e 5€ . Le unità di tipo 1 e 2 devono essere più di 300, le unità di tipo 2 più di 100 e le unità di tipo 1 e 3 più di 300. Pertanto il modello da analizzare è il seguente :
Innanzitutto occorre installare i pacchetti JuMP ed HiGHS.<br>

Da REPL digitare:

<syntaxhighlight lang="Julia">
using Pkg
Pkg.add("HiGHS")
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang="Julia">
using Pkg
Pkg.add("JuMP")
</syntaxhighlight>

Da Jupyter in due celle di codice digitare :

<syntaxhighlight lang="Julia">
] add HiGHS
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang="Julia">
] add JuMP
</syntaxhighlight>

e poi cliccare su Run. Poi eseguire il codice per creare il modello di programmazione lineare:

<syntaxhighlight lang="Julia">
using JuMP
using HiGHS
model = Model(HiGHS.Optimizer)
@variable(model, x1 >= 0)
@variable(model, x2 >= 0)
@variable(model, x3 >= 0)
@objective(model, Min, 10*x1 +20*x2+ 5*x3)
@constraint(model, c1, x1+x2>=300)
@constraint(model, c2, x2>=100)
@constraint(model, c3, x1+x3>=300)
print(model)
optimize!(model)
</syntaxhighlight>

 min 10𝑥1+20𝑥2+5𝑥3
 Subject to
  𝑥1+𝑥2≥300
  𝑥2≥100
  𝑥1+𝑥3≥300
  𝑥1≥0
  𝑥2≥0
  𝑥3≥0

 Running HiGHS 1.5.3 [date: 1970-01-01, git hash: 45a127b78]
 Copyright (c) 2023 HiGHS under MIT licence terms
 Presolving model
 2 rows, 2 cols, 3 nonzeros
 0 rows, 0 cols, 0 nonzeros
 Presolve : Reductions: rows 0(-3); columns 0(-3); elements 0(-5) - Reduced to empty
 Solving the original LP from the solution after postsolve
 Model   status      : Optimal
 Objective value     :  4.5000000000e+03
 HiGHS run time      :          0.00

 
<syntaxhighlight lang="Julia">
println("termination_status = ",termination_status(model))
println("primal_status = ",primal_status(model))
println("dual_status = ",dual_status(model))
println("objective_value = ",objective_value(model))
println("x1 = ",value(x1))
println("x2 = ",value(x2))
println("x3 = ",value(x3))
println("c1 = ",shadow_price(c1))
println("c2 = ",shadow_price(c2))
println("c3 = ",shadow_price(c3))        
</syntaxhighlight>

 termination_status = OPTIMAL
 primal_status = FEASIBLE_POINT
 dual_status = FEASIBLE_POINT
 objective_value = 4500.0
 x1 = 200.0
 x2 = 100.0
 x3 = 100.0
 c1 = -5.0
 c2 = -15.0
 c3 = -5.0

'''cioè l'azienda ha un costo minimo di 4500€, acquistando 200 unità di legno di tipo 1, 100 unità di legno di tipo 2 e 100 unità di legno di tipo 3 per produrre le sedie, soddisfacendo i vincoli indicati.''' 

{{avanzamento|75%|13 settembre 2023}}
[[Categoria:Calcoli scientifici con Julia|Minimizzazione costi]]