Visualizza wikitesto di Calcolo differenziale/Funzioni su R

{{calcolo differenziale}}
==Differenziale di una funzione reale di variabile reale==

Si consideri una generica funzione ''f'' definita da <math>\R</math> a <math>\R</math>. Si chiama '''differenza''' (o '''incremento''') della funzione ''f'' fra ''x''<sub>0</sub> e ''x'', e si indica con &Delta;''f'', la differenza fra i valori che la funzione assume nei punti ''x''<sub>0</sub> e ''x''. Tale differenza è a sua volta una funzione di due argomenti, che possono essere i due valori ''x''<sub>0</sub> e ''x'' dell'argomento, oppure uno dei punti, ad esempio ''x''<sub>0</sub>, unitamente alla differenza fra ''x''<sub>0</sub> e ''x'', che viene solitamente indicata con <math>\Delta x</math>. Dunque si ha:
:<math>\Delta f(x_0, \Delta x) := f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \;</math>

I due argomenti di questa funzione possono essere studiati separatamente, considerando che una funzione di due argomenti può essere associata per mezzo di una [[w:Applicazione parziale|applicazione parziale]] ad un [[w:Funzionale|funzionale]] che si applica al primo argomento restituendo una funzione che a sua volta si applica al secondo argomento. In questo caso &Delta;''f'' può essere pensato come un funzionale che calcolato nel punto ''x''<sub>0</sub> restituisce una funzione &Delta;''f'' di &Delta;''x'' tale che:
:<math>\Delta f(x_0) : \R \to \R</math>
:<math>\Delta f(x_0) : \Delta x \mapsto \Delta f(x_0)(\Delta x) := f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</math>

Se la funzione ''f'' è continua, allora ''f''(''x''<sub>0</sub> + &Delta; ''x'') tende a ''f''(''x''<sub>0</sub>) quando &Delta;''x''  tende a zero. Ma allora la funzione &Delta;''f''(x<sub>0</sub>) tende a 0 quando &Delta;''x'' tende a 0, per cui tale funzione è un [[w:Stima asintotica|infinitesimo]]. In quanto tale può essere approssimata con altre funzioni che risultino ad essa equivalenti in quanto infinitesimi. In generale due funzioni infinitesime ''f'' e ''g'' in un punto x<sub>0</sub> sono equivalenti se il limite del loro rapporto tende a 1, il che è come dire che la loro differenza è un infinitesimo di ordine superiore a quello di entrambe, cioè una funzione che tende a 0 più rapidamente di ''f'' e ''g''. Nel caso della funzione &Delta;''f''(x<sub>0</sub>) per ottenere il differenziale occorre trovare una funzione lineare che sia equivalente alla &Delta;''f''(x<sub>0</sub>) a meno di un infinitesimo di ordine superiore a &Delta;''x'' cioè:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; color: #000; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>\Delta f (x_0)(\Delta x) = df (x_0)(\Delta x) + o(|\Delta x|) \;</math>
</div>

==Riduzione del differenziale a un prodotto: la derivata==

Una funzione lineare da <math>\R</math> a <math>\R</math> può sempre essere espressa come il prodotto di una costante per l'argomento. Dunque il differenziale nel punto ''x''<sub>0</sub> può essere espresso come il prodotto di una costante (che dipenderà da ''x''<sub>0</sub>) per &Delta;''x'':
:<math>df (x_0)(\Delta x) = a(x_0) \Delta x \;</math>

Si vede subito che questa costante è il valore della [[w:Derivata|derivata]] di ''f'' in ''x''<sub>0</sub>, cioè D''f''(''x''<sub>0</sub>) infatti si ha:
:<math>a(x_0) = \frac {\Delta f (x_0)(\Delta x) - o(|\Delta x|)}{\Delta x} = 
\frac {(f (x_0 + \Delta x) - f (x_0)) - o(|\Delta x|)}{\Delta x}</math>
e passando al limite per &Delta;''x'' che tende a 0 al secondo membro si ottiene appunto la definizione della derivata in un punto. Si ha dunque:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; color: #000; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>df (x_0)(\Delta x) = Df(x_0) \Delta x \;</math>
</div>
Questa relazione in seguito potrà essere utilizzata come definizione per generalizzare il concetto di derivata a partire dalla generalizzazione del concetto di differenziale; in questa relazione infatti non si fa uso di rapporti, ma solo di prodotti.

==Relazione funzionale, operatori funzionali e notazione di Leibniz==

Fino a qui si è scritta esplicitamente l'espressione del differenziale calcolato in tutti i suoi argomenti, cioè d''f''(''x''<sub>0</sub>)(&Delta;''x''), ma non si è scritta una espressione per la funzione d''f''(''x''<sub>0</sub>) di per sé. Ciò può essere ottenuto immediatamente usando la funzione identità ''i'', cioè la funzione tale che ''i''(''x'')=''x'', e quindi, in particolare, ''i''(&Delta;''x'')=&Delta;''x''. Usando tale funzione si ha:
:<math>df (x_0)(\Delta x) = Df(x_0) i(\Delta x) \;</math>
da cui si ricava una relazione puramente funzionale:
:<math>df(x_0) = Df(x_0) i \;</math>

Questa relazione può essere scritta in una forma più suggestiva e più vicina alla notazione originaria usata da Leibniz per il calcolo infinitesimale se si osserva che il differenziale della funzione identità è la funzione identità stessa. Si ha infatti: infatti:
:<math>\Delta i(x_0)(\Delta x) := i(x_0 + \Delta x) - i(x_0) = \Delta x \;</math>
e siccome la differenza della funzione ''i'' è lineare nel suo argomento essa coincide anche con il differenziale:
:<math>di(x_0)(\Delta x) = \Delta x = i(\Delta x) \;</math>
da cui si ricava la seguente relazione funzionale:
:<math>di(x_0) = i \;</math>

Dal momento che il differenziale della funzione identità di fatto non dipende da ''x''<sub>0</sub> e che ''i''(''x'')=''x'', si può usare la variabile per indicare la funzione e scrivere d''x'' al posto di d''i''(''x''<sub>0</sub>), sicché nella espressione del differenziale si può sostituire d''x'' alla funzione ''i'':
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; color: #000; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>df(x_0) = Df(x_0) dx \;</math>
</div>
che - come anticipato - è formalmente uguale alle relazioni espresse dalla notazione infinitesimale di Leibniz, anche se ora né d''f''(x<sub>0</sub>) né d''x'' vanno intesi come "infinitesimi", ma come funzioni (e in particolare d''x'' è semplicemente la funzione identità utilizzata per eliminare la dipendenza dall'argomento nella espressione esplicita di d''f''(x<sub>0</sub>)(&Delta;''x'')).

Dal momento che le due funzioni <math>df(x_0)</math> e d''x'' sono proporzionali a meno della costante <math>Df(x_0)</math>, tale costante può anche essere espressa formalmente come "rapporto" della due funzioni:
:<math>Df(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx}\;</math>


Infine se si considera anche il punto <math>x_0</math> variabile, allora d''f''(''x'') e D''f''(''x'') sono rispettivamente un funzionale e una funzione con dominio in <math>\R</math>. Pertanto d e D possono anche essere considerati degli operatori funzionali che trasformano la funzione ''f'', rispettivamente, nel funzionale d''f'' e nella funzione D''f'':
:<math>d : \{\phi | \phi : \R \to \R \} \to \{ \Phi | \Phi : \R \to \{ \phi | \phi : \R \to \R \} \}</math>
:<math>d : f \mapsto df</math>
e
:<math>D : \{\phi | \phi : \R \to \R \} \to \{\phi | \phi : \R \to \R \}</math>
:<math>D : f \mapsto Df</math>

Usando la notazione di Leibniz si può riscrivere formalmente l'operatore derivata D come "rapporto" fra l'operatore d e il funzionale d''x'':
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; color: #000; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>Df = \frac{d}{dx} f = \frac{df}{dx} \;</math>
</div>

Si osservi che quando d/d''x'' venga inteso come operatore funzionale prima esso va applicato alla funzione ''f'' e poi la funzione risultante va calcolata in un punto ''x''. Invece se la derivata Df calcolata in un punto ''x'' viene espressa formalmente come rapporto delle funzioni d''f''(''x'') e d''x'' allora prima bisogna calcolare il funzionale d''f'' nel punto ''x'' e poi fare il "rapporto" delle due funzioni:
:<math>(Df)(x) = \left ( \frac{d}{dx} f \right )(x) = \frac{df}{dx}(x) = \frac{(df)(x)}{dx} \;</math>

==Funzioni vettoriali di variabili reali==

Per le funzioni vettoriali di una variabile reale le definizioni e anche le principali relazioni restano sostanzialmente immutate.

Per definizione il differenziale è la parte lineare dell'incremento della funzione nell'intorno di un punto fissato: 
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; color: #000; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>\Delta \mathbf f (x_0)(\Delta x) = d \mathbf f (x_0)(\Delta x) + o(|\Delta x|) \;</math>
</div>

Inoltre la derivata può essere definita come per le funzioni reali, con l'unica avvertenza di usare la norma dello spazio vettoriale per calcolare i limiti o definire gli sviluppi asintotici. Si dimostra che:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; color: #000; border: 1px solid blue;
margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:<math>d\mathbf f (x_0)(\Delta x) = D\mathbf f(x_0) \Delta x \;</math>
</div>

{{avanzamento|75%}}

[[Categoria:Calcolo differenziale|Funzioni reali]]