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==Sistemi di comunicazione PAM in banda base==

===Sistemi PAM binari}
Si indicano con la sigla BPSK

In un sistema binario i simboli trasmessi sono due <math>(\$M_{A-BPSK} = 2\$)</math>,
supponiamo che siano antipodali, equiprobabili ed indipendenti, quindi
<math>
a_{i} = \left\{
\begin{array}{ll}
-1 & Pr(-1) = 1/2 \\
 1 & Pr(1)  = 1/2 \\
\end{array} \right.
</math>

====Trasmissione}
Il trasmettitore di un sistema PAM è un filtro detto \emph{filtro in trasmissione}

Il segnale in uscita dal trasmettitore <math>s_{T}(t)</math> è quindi una successione di impulsi 
che hanno forma corrispondente a $g_{a}(t)$ 
spaziati di un tempo $T$ tra loro;
quindi
<math>
s_{T}(t) = a(t) \conv g_{T}(t)
         = \sumI{i} a_{i} g_{T}(t-iT)
</math>
per un trasmettitore in banda base, e
<math>
\begin{equation}
s_{T}(t) = \big( a(t) \conv g_{T}(t) \big) \cos(2\pi f_{pM} t) 
         = \sumI{i} a_{i} g_{T}(t - iT) \cos(2\pi f_{pM} t)
\end{equation}
</math>
per un trasmettitore in banda passante centrato nella frequenza <math>f_{pM}</math>;

Nel dominio della frequenza
<math>
\begin{equation}
S_{T}(f) = \sumI{i} a_{i} G_{T}(f) 
           \conv \big( \frac{\delta(f-f_{pM}) + \delta(f+f_{pM})}{2} \big)
\end{equation}
</math>
====Ricezione}
Supponiamo che il canale sia lineare tempoinvariante, 
il segnale in ingresso al ricevitore,
nel caso di trasmissione in banda base, è quindi :
\begin{equation}
s_{R}(t) = a(t) \conv g_{T}(t) \conv c(t) + w(t)
         = A_{c} \sumI{i} a_{i} g_{T}(t - iT - t_{r}) + w(t)
\end{equation}
considerando invece lo spettro del segnale in frequenza 
nel caso di trasmissione in banda passante si ha:
\begin{equation}
S_{R}(f) = A_{c} \left( \sumI{i} a_{i} G_{T}(f) 
           \conv \big( \delta(f-f_{0}) + \delta(f+f_{0}) \big) \right) 
           \e{-j2\pi f t_{r}} + \frac{N_{0}}{2}
\end{equation}


L'energia dei simboli che arriva al ricevitore è
\begin{equation}
E_{b} = a_{i} \intI g_{TC}^{2}(t) dt = a_{i} \intI \mid G_{TC}(f) \mid^{2} df
\end{equation}
e quindi l'energia media è unitaria


====Modello del sistema PAM}
Possiamo quindi modellizzare il sistema con la serie di un filtro seguito da un addizionatore di rumore bianco e da un campionatore;
il filtro rappresenta la \emph{risposta impulsiva del sistema PAM} $g_{PAM}(t)$
ottenuta dalla convoluzione delle risposte impulsive di trasmettitore, canale ericevitore
\begin{equation}
g_{PAM}(t) = g_{T}(t) \conv c(t) \conv g_{R}(t) \phantom{30}
G_{PAM}(f) = G_{T}(f) \conv C(f) \conv G_{R}(f)
\end{equation}

====Dimensionamento del sistema}
La risposta impulsiva del sistema PAM deve soddisfare la
\emph{condizione di Nyquist}
per evitare l'interferenza intersimbolica, 
in corrispondenza della trasmissione dell'i-esimo simbolo:
\begin{equation}
g_{PAM}(t) = 
\left\{ \begin{array}{cl}
1 & \mbox{per $t = iT + t_{r}$} \\
0 & \mbox{per $t = kT + t_{r}$ con $k \in \Int$ e $k \not= i$} \\
\mbox{qualsiasi} & \mbox{altrimenti} \\
\end{array} \right.
\end{equation}
(\emph{condizioni di Nyquist nel tempo}) \\
oppure
\begin{equation}
G_{PAM}(f) \phantom{30} \mbox{tale che} \phantom{5}
\sumI{k} G_{PAM}\left( f - \frac{k}{T_{s}} \right) = T_{s}
\end{equation}
(\emph{condizione di Nyquist in frequenza})

Le due condizioni sono tra loro equivalenti, ovvero se un sistema soddisfa una allora soddisfa anche l'altra

Per un sistema PAM binario, 
poiché si è supposto che il rumore sia a potenza costante ed indipendente dal sistema,
si ha il massimo rapposto segnale-rumore $\stnr$ quanto l'energia del segnale utile ricevuto è la massima possibile
e questo si ottiene con un \emph{filtro adattato} in ricezione
\begin{equation}
g_{R}(t) = A_{R} g_{TC}(t_{can} - t)
\end{equation}
\begin{displaymath}
G_{R}8f) = A_{R} G_{TC}^{*}(f) \e{-j 2 \pi f t_{can}}
\end{displaymath}



La risposta impulsiva della serie trasmettitore-canale è 
$g_{TC}(t) = g_{T}(t) \conv c(t)$
Il filtro in ricezione deve essere \emph{adattato} al canale, ovvero
\begin{equation}
g_{R}(t) = A_{R} g_{TC}(t_{r} - t)  \phantom{30}
G_{R}(t) = A_{R} G_{TC}^{*}(f)\e{-j 2 \pi f t_{r}}
\end{equation}
per massimizzare il rapporto segnale-rumore

====Sistemi PAM in banda larga}
Sono detti \emph{sistemi PAM in banda larga} i sistemi la sui risposta impulsiva è scelta in modo da soddisfare la condizione di Nyquist nel tempo, 

si può scegliere ad esempio un impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata minore o uguale al doppio dell'intervallo di segnalazione
\begin{equation}
g(t) = \rect{t}{2\tau} \phantom{30} G(f) = 2\tau \sinc (2\tau f)
\end{equation}
con $\tau \leq T_{s}$

La banda occupata dal sistema è teoricamente infinita, quindi viene limitata con un filtro passa-basso $\rect{f}{2\tau k}$, 
dove $k$ è un parametro di progetto,
inoltre si sceglie $\tau = T_{s}$ per avere, a parità di $k$, la banda minima;
ottenendo quindi
\begin{equation}
\B_{PAM-rect} = \frac{k}{2 T_{s}} \phantom{30} \effb_{PAM-rect} = \frac{2}{k}
\end{equation}

Per i sistemi in banda larga è possibile utilizzare un ricevitore di tipo diverso dal filtro adattato detto \emph{correlatore},
il cui segnale, una volta campionato, è equivalente a quello del filtro adattato;
questo supponendo di utilizzare per la trasmissione degli impulsi rettangolari di durata pari all'intervallo di segnalazione $T$.
Il correlatore è un sistema che integra il segnale in ingresso per un tempo $T$
la cui funzione d'uscita in corrispondenza dell'i-esimo simbolo trasmesso è
\begin{equation}
y(t) = \int _{iT} ^{(i+1)T} x(t) dt
\end{equation}
un ricevitore di questo tipo ha il vantaggio di essere costruibile molto facilmente ed a basso costo.

====Sistemi PAM in banda stretta}
Sono detti \emph{sistemi PAM in banda stretta} i sistemi la cui risposta in frequenza è scelta in modo da soddisfare la condizione di Nyquist in frequenza;
vengono usati a questo scopo delle \emph{risposte in frequenza a coseno rialzato} che hanno equazione
\begin{equation}
G(f) =
\left\{ \begin{array}{cl}
T & \mbox{per $\mid f \mid \leq \frac{1 - \rolloff}{2T}$} \\
1 + \cos \left( 2 \pi f T \rolloff + 1/2T \right) 
  & \mbox{per $\frac{1-\rolloff}{2T} < f < \frac{1+\rolloff}{2T}$} \\
1 + \cos \left( 2 \pi f T \rolloff - 1/2T \right) 
  & \mbox{per $-\frac{1+\rolloff}{2T} < f < -\frac{1-\rolloff}{2T}$} \\
0 & \mbox{per $\mid f \mid \geq \frac{1 + \rolloff}{2T}$} \\
\end{array} \right.
\end{equation}
dove il termine \rolloff (\emph{rolloff} è un parametro costruttivo del sistema
che consente di aumentare l'efficienza in banda del sistema a scapito della resistenza agli errori di temporizzazione del campionatore;

Se si sceglie un rolloff nullo si ottiene 
\begin{equation}
G(f) = T \rect{f}{T} \mbox{per $\rolloff = 0$}
\end{equation}
che ha banda $T/2$
(corrispondente alla banda minima possibile di un sistema PAM)
ed efficienza in banda $2$
(che è la massima possibile)
ma in questo modo il sistema diventa molto sensibile agli errori di progetto,
se la banda occupata fosse leggermente più larga o più stretta non si soddisferebbe più la condizione di Nyquist, 
inoltre una piccola variazione dell'istante di campionamento comporta una forte interferenza intersimbolica
data l'elevata pendenza di una funzione seno cardinale (la corrispondente risposta temporale) nei suoi zeri.
\`E quindi preferibile sempre, se possibile, un rolloff elevato

Se si sceglie il rolloff massimo si ha 
\begin{equation}
G(f) = \frac{T}{2} \left( 1 + \cos \pi T f \right) \rect{f}{2/T}
\end{equation}
che nel tempo corrisponde ad una funzione che ha forma simile ad un seno cardinale ma che ha pendenza minore nei suoi zeri,
e che quindi consente di accettare errori maggiori dell'istante di campionamento.
La banda occupata in questo caso è doppia ($1/T$) e quindi l'efficienza in banda è $1$.

In generale al variare del rolloff, la banda e l'efficienza in banda del sistema in banda stretta sono
\begin{equation}
B_{PAM - 1+\cos} = \frac{1+ \rolloff}{2T}  \phantom{30}
\effb_{PAM - 1+\cos} = \frac{2}{1 + \rolloff}
\end{equation}
che comunque sono molto migliori che nei sistemi PAM in banda larga

====Equalizzatore}
Quando un sistema PAM è affetto da un'interferenza intersimbolica
(dovuta a non idealità del canale di trasmissione, ad esempio)
è possibile inserire tra il filtro in ricezione ed il campionatore 
un sistema detto \emph{equalizzatore}
che è in grado di ridurre l'interferenza intersimbolica

Ignoriamo per l'analisi dell'equalizzatore la presenza del rumore bianco

Un equalizzatore ad $N_{E}$ (supponiamo che $N_{E}$ sia dispari) stadi è composto da $N_{E}-1$ elementi di ritardo $T_{s}$ in serie, 
le cui uscite sono, insieme al segnale di ingresso, moltiplicate ciascuna per una costante
e quindi sommate per fornire il segnale di uscita

L'uscita dell'equalizzatore all'istante $t$ è
\begin{equation}
y(t) = e_{- \frac{N_{E}-1}{2}} x(t-\frac{N_{E}-1}{2}T_{s}) + 
       \ldots +
       e_{-1} x(t-T_{s}) + 
\end{equation}
\begin{displaymath}
       e_{0} x(t) + 
       e_{+1} x(t+T_{s}) + 
       \ldots +
       e_{\frac{N_{E}-1}{2}} x(t+\frac{N_{E}-1}{2}T_{s}) + 
\end{displaymath}
Il valore del segnale in uscita dipende quindi dal valore del segnale in ingresso e da $N_{E}-1/2$ valori del segnale in ingresso precedenti ed altrettanti successivi 

Un equalizzatore reale introduce quindi un ritardo 
\begin{equation}
t_{rE} = \frac{N_{E}-1}{2}T_{s}
\end{equation}

quando in ingresso arriva il segnale all'uscita del filtro in ricezione
(ignorando il rumore ed il ritardo introdotti dal canale)
\begin{displaymath}
s_{E}(t) = s_{R}(t) \conv g_{R}(t)
\end{displaymath}
si ha che a causa della presenza di interferenza intersimbolica il segnale non rispetta la condizione di Nyquist, 
quindi in corrispondenza della trasmissione dell'$n_{0}$-esimo  
\begin{displaymath}
s_{E}(n_{0}T_{s}) \not= 1 \phantom{30} 
s_{E}\big( n_{e}T_{s} \big) \not=0 
\mbox{per $n_{e} \in \left[-\frac{N_{E}-1}{2} \cdots -1 \right], 
                     \left[1 \cdots \frac{N_{E}-1}{2} \right] \in \Int$}
\end{displaymath}
mentre in uscita dall'equalizzatore
\begin{displaymath}
s_{C}(n_{0}T_{s}) = 
      e_{-\frac{N_{E}-1}{2}} s_{R}\big( (n_{0}-\frac{N_{E}-1}{2})T_{s} \big) + 
      \ldots +
      e_{-1} s_{R}\big( (n_{0}-1)T_{s} \big) + 
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
      e_{0} s_{R}\big( n_{0}T_{s} \big) + 
      e_{+1} s_{R}\big( (n_{0}+1)T_{s} \big) + 
      \ldots +
      e_{\frac{N_{E}-1}{2}} s_{R}\big( (n_{0}+\frac{N_{E}-1}{2})T_{s} \big) + 
\end{displaymath}
per la componente significativa e
\begin{displaymath}
s_{C}(n_{e}T_{s}) = 
      e_{-\frac{N_{E}-1}{2}} s_{R}\big( (n_{e}-\frac{N_{E}-1}{2})T_{s} \big) + 
      \ldots +
      e_{-1} s_{R}\big( (n_{e}-1)T_{s} \big) + 
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
      e_{0} s_{R}\big( n_{e}T_{s} \big) + 
      e_{+1} s_{R}\big( (n_{e}+1)T_{s} \big) + 
      \ldots +
      e_{\frac{N_{E}-1}{2}} s_{R}\big( (n_{e}+\frac{N_{E}-1}{2})T_{s} \big) + 
\end{displaymath}
per la componente di interferenza intersimbolica

\`E quindi necessario conoscere la forma segnale ricevuto oppure i suoi valori 
per $\frac{N_{E}-1}{2}$ multipli dell'intervallo di segnalazione precedenti e successivi


===Sistemi M-PAM===
\`E possibile trasmettere con un alfabeto di dimensione differente rispetto a quello dei simboli emessi dalla sorgente, 
utilizzando un \emph{codificatore} 
in serie alla sorgente che traduce blocchi di simboli in un simbolo appartenente ad un alfabeto di dimensioni maggiori $M$ 
\begin{displaymath}
-(M-1) , -(M-3), \ldots , -5, -3, -1, 1 , 3 , 5 , M-3, M-1
\end{displaymath}

La struttura del sistema di trasmissione rimane la stessa ma variano i parametri;
supponendo che l'alfabeto originario sia binario,
$\log_{2} M$ simboli binari si traducono in un unico simbolo
secondo una \emph{codifica} che è scelta in modo che simboli adiacenti differiscano di  un solo bit (\emph{codifica di Gray}) in modo che un errore su un simbolo si traduce quasi sicuramente in un errore su un singolo bit.

La densità spettrale di potenza del segnale PAM trasmesso è
\begin{equation}
\dsP_{x_{T}}(f) = \frac{A_{1}^{2} +A_{2}^{2}+ \cdots + A_{M_{A} -1}^{2}}{M_{A}}
               \phantom{2} \frac{\mid G_{T}(f) \mid ^{2}}{T}
\end{equation}
dove la formula è ricavata supponendo che il segnale in trasmissione sia stazionario
(cosa che in generale non è vera)

L'efficienza in banda aumenta e la banda utilizzata diminuisce; utilizzando un sistema PAM in banda stretta si ha
\begin{equation}
\B_{M-PAM} = \frac{\B_{2-PAM}}{\log _{2} M} \phantom{30}
\effb_{M-PAM} = \frac{2}{1+\rolloff} \log_{2} M
\end{equation}
Il decisore decide per il simbolo più vicino e la probabilità di errore è
\begin{displaymath}
Pr(e)_{M-PAM} = 2 \left( 1 - \frac{1}{M} \right) 
                Q\left( \sqrt{\frac{2E_{0}}{N_{0}}} \right)
\end{displaymath}
(l'espressione è dovuta al fatto che la probabilità di errore è differente per i simboli estremi $M-1$ e $-(M-1)$)

L'energia media ricevuta per simbolo è 
\begin{displaymath}\
\left( \frac{M^{2} - 1}{3} \right) E_{0}
\end{displaymath}
($E_{0}$ è l'energia dei simboli ad energia minimo $-1$ ed $1$)
e quindi l'energia media per bit è
\begin{equation}
E_{b-M-PAM} = \frac{(M^{2} - 1)E_{0}}{3\log_{2}M} 
\end{equation}

La probabilità di errore su ogni bit trasmesso è quindi
\begin{equation}
BER_{M-PAM} = 2 \left( 1 - \frac{1}{M} \right) 
                Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{N_{0}} 
                              \frac{3 \log_{2}M}{M^{2}-1}} \right)
            = \frac{BER_{2-PAM}}{\log_{2}M}
\end{equation}

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