Visualizza wikitesto di Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

Il numero razionale '''22/7''' ampiamente usato si approssima a '''[[w:pi greco|&pi;]]''' meglio del più usato 3,14. Esso è una ridotta della espansione in [[w:frazione continua|frazione continua]] di &pi;. 22/7 è maggiore di &pi;, come fu dimostrato da [[w:Archimede|Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di  &pi;, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

:<math>\frac{22}{7} \approx 3{,}142857\dots\,</math>
:<math>\pi \approx 3{,}141592\dots\,</math>

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di &pi; dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica]].

==L'idea==

:<math>0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi</math>

quindi 

:<math> \frac{22}{7} > \pi.</math>

==I dettagli==

Il fatto che l'[[Matematica per le superiori/Integrali|integrale]] sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

:{|
|-
|<math>0\,</math>
|<math><\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx</math>
|-
|
|<math>=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx</math>
|-
|
|<math>=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx</math>
|-
|
|<math>=\left[\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right]_0^1</math>
|-
|
|<math>=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ </math>
|-
|
|<math>=\frac{22}{7}-\pi.</math>
|}

avendo usato [[w:arcotangente|arctan]](1) = &pi;/4 e arctan(0)=0.

==Apparizione nella Putnam Competition==

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della [[w:William Lowell Putnam Mathematical Competition|Putnam Competition]]. 

== Collegamenti esterni ==
*[http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn68.html Il problema della Putnam competition del 1968]

{{alfabetico|D}}
[[Categoria:Matematica]]

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