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{{Equazioni differenziali alle derivate parziali}}

In questo modulo si riprendono alcuni risultati riguardanti l'energia per le soluzioni dell'equazione delle onde, quali: conservazione, equipartizione e unicità. In particolare si utilizzeranno la trasformata di Fourier e le sue proprietà per provare che l'energia è una costante di moto.

Innanzitutto si ha la conservazione dell'energia.

== Teorema (Conservazione dell'energia) ==

Sia <math>u(x,t)</math> soluzione dell'equazione delle onde. Detta

<math> T(u)(t)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^n}\left|\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|^2dx</math>

l'energia cinetica dell'onda, e detta

<math> U(u)(t)=\frac{1}{2}c^2\int_{\mathbb{R}^n}\parallel \nabla u(x,t)\parallel^2dx</math>

la sua energia potenziale, si ha che l'energia totale dell'onda è costante sulle soluzioni dell'equazione delle onde:

<math> E(u)(t)=T(u)(t)+U(u)(t)=E(u)(0)</math>
 
Dal precedente teorema segue immediatamente anche l''''equipartizione dell'energia'''.

== Teorema (Equipartizione dell'energia) ==

Sia <math>u(x,t)</math> soluzione dell'equazione delle onde e sia <math>E(u)</math> la sua energia. Allora si ha che

<math> \lim_{t\rightarrow\pm \infty}T(u)(t)=\lim_{t\rightarrow\pm\infty}U(u)(t)=\frac{1}{2}E(u)(0)</math>

Da questi due risultati segue l'unicità dell'energia della soluzione dell'equazione delle onde.

=== Dimostrazione ===

Siano <math>u_1,u_2</math> due soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione delle onde:

<math> \begin{cases} \Box u_i=0\\ u_i(0,x)=f\\ \partial_tu_i(0,x)=g \end{cases}\;\forall\,i=1,2</math>

Sia ora <math>w=u_1-u_2</math>. Essa soddisferà il problema di Cauchy:

<math> \begin{cases} \Box w=0\\ w(0,x)=0\\ \partial_t w=0 \end{cases}</math>

Dunque si ha che <math>E(w)(0)=0</math>, ma essendo l'energia una costante di moto dovrà essere che <math>E(w)(t)=0\,\forall\,t</math>. Segue che:

<math> E(u_1)=E(u_2)</math>

{{Avanzamento|100%|18 agosto 2024}}
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