Visualizza wikitesto di Geometria per scuola elementare/Una dimostrazione di irrazionalità

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Un '''numero razionale''', in matematica, è un numero reale che può essere scritto come rapporto di due interi, vale a dire, nella forma
:''a''/''b'' dove ''a'' e ''b'' sono interi e ''b'' è diverso da zero. 

Un '''numero irrazionale''' è invece un numero reale che non può essere scritto come rapporto di due interi, cioè, non si presenta nella forma 
:''a''/''b'', dove ''a'' e ''b'' sono definiti come prima. 


== Storia della teoria dei numeri irrazionali ==

La scoperta dell'esistenza di tali numeri è tradizionalmente attribuita alla scuola pitagorica, più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che esibì una dimostrazione dell'irrazionalità di <math>\sqrt{2}</math>. Si racconta che Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre cercava di esprimere la radice quadrata di 2 come una frazione (si veda la dimostrazione più oltre). Tuttavia, Pitagora era convinto della assolutezza dei numeri è non poteva accettare l'esistenza di numeri irrazionali. Ma, non potendone negare l'esistenza con il ragionamento, ricorse ad un argomento che andava fuori dalla logica: ordinò a Ippaso di suicidarsi annegandosi in mare.
Se questa storia fosse vera, vorrebbe dire che quello del matematico è un mestiere che può essere molto pericoloso...

== Irrazionalità della radice quadrata di 2 ==

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è il seguente ragionamento per assurdo. Si assume che la proposizione sia falsa mostrando che questo porta ad una contraddizione; questo vuol dire che la proposizione deve essere vera.

Nella dimostrazione useremo il termine ''coprimo'': due interi sono ''coprimi'' se l'unico intero che li divide entrambi è 1.

# Assumiamo, per assurdo, che <math>\sqrt{2}</math> sia un numero razionale. Questo vuol dire che esistono due interi ''a'' e ''b'' tali che ''a'' / ''b'' = <math>\sqrt{2}</math>.
# Inoltre ''a'' / ''b''  può essere scritta in modo che sia ''a'' e ''b'' siano coprimi.
# Ovviamente si ha (''a'' / ''b'')<sup>2</sup> = 2.
# Ne segue che ''a''<sup>2</sup> / ''b''<sup>2</sup> = 2 da cui ''a''<sup>2</sup> = 2 ''b''<sup>2</sup>.
# Ma allora  ''a''<sup>2</sup> è pari perché uguale al doppio di un numero intero (2''b''<sup>2</sup>).
# Ne segue che anche ''a'' deve essere pari. Infatti un numero dispari, elevato al quadrato, dà un numero dispari mentre un numero pari, al quadrato, dà un numero pari.
# Siccome ''a'' è pari, deve esistere un intero ''k'' di cui è il doppio: ''a'' = 2''k''.
# Inseriamo quest'ultimo risultato nell'ultima equazione del punto 3). Avremo (2''k'')<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> che è equivalente a scrivere 4''k''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup> che a sua volta si può scrivere come 2''k''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup>.
# Siccome 2''k''<sup>2</sup> è pari ne segue che anche ''b''<sup>2</sup> è pari. Ma allora anche ''b'' è pari perché, come già visto, solo numeri pari hanno il quadrato pari.
# Quindi da (5) e (8) sappiamo che ''a'' e ''b'' sono entrambi pari: questo contraddice il fatto che ''a'' e ''b'' siano coprimi.

Siccome siamo giunti a una contraddizione, l'assunzione (1) secondo cui <math>\sqrt{2}</math> era un numero razionale deve essere falsa. 

Quindi è vero l'opposto: <math>\sqrt{2}</math> è irrazionale.

<!-- Suggerimento per la versione italiana: provare l'irrazionalità con un ragionamento "riga e compasso". Un accenno si trova  su en.wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number#Example_proofs#Another_proof -->

[[Categoria: Geometria per scuola elementare|Una prova d'irrazionalità]]

[[en:Geometry for Elementary School/A proof of irrationality]]