Visualizza wikitesto di Geometrie non euclidee/La "geometria del taxi"

{{Geometrie non euclidee}}
Verso la fine del XIX secolo, il matematico tedesco '''Hermann Minkowski''' studiò la cosiddetta "'''geometria del taxi'''" (''Taxicab geometry'' oppure ''Manhattan distance'' in inglese − vista la conformazione ortogonale delle strade di Manhattan). La caratteristica principale di questa geometria è che la metrica (= distanza) euclidea è sostituita da una nuova, in cui la distanza tra due punti è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate.

===Il concetto di distanza nella geometria del taxi===
Formalmente, si può definire la '''distanza''' nella geometria del taxi (in inglese '''Manhattan distance'''), indicata come distanza <math>L_1</math>, tra due punti nello spazio euclideo con un fissato sistema di coordinate cartesiane, la somma delle lunghezze delle proiezioni sugli assi cartesiani dei segmenti che congiungono i due punti.

Dunque, la distanza <math>L_1</math> tra due punti <math>P_1</math> di coordinate <math>(x_1,y_1)</math> e il punto <math>P_2</math> di coordinate <math>(x_2,y_2)</math> è

:<math>L_1(P_1,P_2)=|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|. </math>

La distanza <math>L_1</math> varia per rotazione del sistema di assi, mentre è invariante per traslazioni e riflessioni.

La distanza <math>L_1</math> viene anche detta '''distanza del taxi''', perché è la minore distanza che dovrebbe essere percorsa da un'automobile per muoversi tra due punti situati in una città suddivisa in isolati quadrati, come Manhattan. Ogni percorso che va da un punto a un altro punto situato 3 isolati a est e 6 isolati a nord dovrà essere lungo almeno 9 isolati. Tutte le strade più dirette sono lunghe esattamente 9 isolati.

[[Immagine:Manhattan distance.svg|center|300px]]
Rispetto alla geometria euclidea, nella geometria del taxi non vale il primo criterio di congruenza dei triangoli: è possibile generare due triangoli diversi aventi due lati e l'angolo fra essi compreso ordinamente congruenti. Rimane valido, invece, il V postulato.

Una circonferenza nella geometria del taxi è il luogo di punti che hanno la stessa distanza <math>L_1</math> dal centro. Queste circonferenze sono in realtà quadrati i cui lati formano un angolo di 45° con gli assi coordinati. In questo contesto, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza ed il raggio <math>L_1</math> non è <math>2\pi </math>, bensì 8.

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{{avanzamento|100%|31 maggio 2008}}