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{{Informatica 5 Liceo Scientifico Scienze Applicate}}{{Avanzamento|100%|11 ottobre 2014}}

== Risoluzione di un sistema di equazioni lineari ==
E' possibile calcolare le soluzioni di un sistema di equazioni lineari rappresentandolo in forma matriciale e risolvendolo tramite programmi matematici come Octave o tramite un comune foglio di calcolo. Risolvere un sistema di equazioni lineari risulta così un'operazione estremamente semplice e veloce.<br />
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| Quando si studiano i primi circuiti resistivi in elettronica o in fisica
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| [[File:CircuitoResistivo.png|400px|sinistra|thumb|CircuitoResistivo]]
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| per risolverli e trovare le correnti nei diversi rami bisogna risolvere un sistema di equazioni lineari; quando si ha una reazione chimica 
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| [[File:Questo é un esempio di reazione chimica chiamata ossidoriduzione- All'interno della reazione troviamo elementi che si ossidando , quindi perdono elettroni, ed elementi che si riducono ossia acquistano elettro 2014-06-29 08-47.jpg|400px|left|thumb|formula]]
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| e si vuole determinare le quantita' di sostanze da impiegare come reagenti per ottenere un certo quantitativo di prodotto finale si può riformulare il tutto scrivendo un sistema di equazioni lineari.
|}


'''Introduzione teorica sulla risoluzione di un sistema''' <br />

Dato un sistema di equazioni lineari del tipo:
<br/><br/><math>
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ 
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}
</math><br/><br/>
si consideri la matrice A contenente i coefficienti delle incognite del sistema, il vettore b contenente i termini noti del sistema ed il vettore x contenente le incognite del sistema stesso.<br/>
La formula per la risoluzione del sistema risulta:
<br/><br/><math>
A\cdot x= b
</math><br/><br/>
Quindi, per il calcolo matriciale(la proprietà commutativa in generale non vale per il prodotto tra matrici):
<br/><br/><math>
A^{-1}\cdot A\cdot x= A^{-1}\cdot b
</math><br/><br/><math>
x= A^{-1}\cdot b
</math><br/><br/>

'''Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con Octave''' <br />

Si consideri il sistema di equazioni seguente come esempio da risolvere:
<br/><br/><math>
\begin{cases}
x_{1}-4x_{2}-3x_{3}=2 \\
6x_{1}+x_{2}-1x_{3}=7 \\
1x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=8 \\

\end{cases}
</math><br/><br/>
Inseriamo su Octave la matrice A contenente i coefficienti delle incognite del sistema digitando ''A=[1 -4 -3 ;6 1 -1;1 3 2 ]'', ed il vettore b contenente i termini noti con l'istruzione ''b=[2;7;8]'' in questo caso gli elementi del vettore b devono essere disposti su una colonna:<br/>
e  creiamo la matrice C inversa di A digitando ''C=inv(A)''<br/> Infine, per ottenere i valori delle incognite sotto forma di vettore x, sfruttando la formula di risoluzione del sistema, digitiamo ''x=C*b''<br/> Il programma scritto in Octave e' allora

 A=[1 -4 -3; 6 1 -1; 1 3 2]
 b=[2 ;7 ;8]
 C=inv(A)
 x=C*b

e dalla sua esecuzione si ottiene<br />

 A=  1 -4  -3
     6  1  -1
     1  3   2

 b= 2
    7 
    8

 C=  0.83  -0.16   1.16
    -2.16   0.83  -2.83
     2.83   1.16  -4.16

 x=   9.83
    -21.1
     30.8 

     


'''Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con un foglio elettronico''' <br />

Anche con un foglio elettronico  è possibile risolvere sistemi con procedure simili a quelle illustrate per Octave. Le matrici ed i vettori andranno in questo caso inseriti nelle celle del foglio di calcolo (nel nostro caso OpenOffice Calc)<br />

Inseriamo nel blocco di celle B3:D5  i coefficienti delle incognite, nelle celle G3:G5  i termini noti, calcoliamo l'inversa selezionando il blocco di celle B9:D11  e scriviamo la formula =MINVERS(B3:D5)  e poi invece di premere Invio premiamo ctrl+shift+invio : la formula scritta prima compare fra parentesi graffe e nelle celle B9:D11 compare la matrice inversa; a questo punto selezioniamo tre celle (in colonna ), ad esempio B16:B18, e scriviamo la formula =MMULT(B9:D11;G3:G5). Premiamo ctrl+shift+invio  e ci compare il risultato.