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{{Teoria dei segnali2}}
==Diagrammi a blocchi==
Un '''diagramma a blocchi''' è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.

{| class=wikitable style="text-align: center; margin-left: auto; margin-right: auto; background-color: transparent"
|+ Blocchi fondamentali
! Sommatore
| [[File:Summer block diagram fundamental block.png|125px]]
| colspan=2 | <math>y \left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right)</math><br /><math>Y \left( f \right) = X_1 \left( f \right) + X_2 \left( f \right)</math>
|-
! Ritardatore
| [[File:Delayer block diagram fundamental block.png|200px]]
| <math>h \left( t \right) = \delta \left( t - T \right)</math><br /><math>H \left( f \right) = e^{- j 2 \pi f T}</math>
| <math>y \left( t \right) = x \left( t - T \right)</math><br /><math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) e^{- j 2 \pi f T}</math>
|-
! Amplificatore
| [[File:Amplifier block diagram fundamental block.png|200px]]
| <math>h \left( t \right) = A \delta \left( t \right)</math><br /><math>H \left( f \right) = A</math>
| <math>y \left( t \right) = A x \left( t \right)</math><br /><math>Y \left( f \right) = A X \left( f \right)</math>
|}

{| class=wikitable style="text-align: center; margin-left: auto; margin-right: auto; background-color: transparent"
|+ Tipi di interconnessione
! Serie
| [[File:Series block diagram interconnection.png|200px]]
| <math>y \left( t \right) = x \left( t \right) * h_1 \left( t \right) * h_2 \left( t \right)</math><br /><math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) H_1 \left( f \right) H_2 \left( f \right)</math>
|-
! Parallelo
| [[File:Parallel block diagram interconnection.png|200px]]
| <math>y \left( t \right) = x \left( t \right) * \left[ h_1 \left( t \right) + h_2 \left( t \right) \right]</math><br /><math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) \left[ H_1 \left( f \right) + H_2 \left( f \right) \right]</math>
|-
! Retroazione (o feedback)
| [[File:Feedback block diagram interconnection.png|200px]]
| <math>y \left( t \right) = \left[ x \left( t \right) + y \left( t \right) * h_2 \left( t \right) \right] * h_1 \left( t \right)</math><br /><math>Y \left( f \right) = X \left( f \right) \frac{H_1 \left( f \right)}{1 - H_1 \left( f \right) H_2 \left( f \right)}</math>
|}
{{cassetto|Dimostrazione retroazione|
:<math>Y \left( f \right) = \left[ X \left( f \right) + Y \left( f \right) H_2 \left( f \right) \right] H_1 \left( f \right)</math>
:<math>Y \left( f \right) \left[ 1 - H_2 \left( f \right) H_1 \left( f \right) \right] = X \left( f \right) H_1 \left( f \right)</math>
:<math>H \left( f \right) = \frac{Y \left( f \right)}{X \left( f \right)} = \frac{H_1 \left( f \right)}{1 - H_2 \left( f \right) H_1 \left( f \right)}</math>
}}

Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:
* senza retroazione ({{tooltip|FIR|Finite Impulse Response}}):
*:<math>H_{\text{FIR}} \left( f \right) = \sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}</math>
* con retroazione ({{tooltip|IIR|Infinite Impulse Response}}):
*:<math>H_{\text{IIR}} \left( f \right) = \frac{\sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}}{\sideset{}{_k}\sum{{\beta}_k e^{-j2 \pi f {\tau}_k}}}</math>

==Definizioni di banda==
La '''banda''' di un segnale o di un sistema<ref>Per "banda di un sistema" s'intende la banda della sua funzione di trasferimento <math>H \left( f \right)</math>.</ref> può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.

Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la '''banda unilatera''', che equivale alla metà della '''banda bilatera'''.

===Misura del supporto===
La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.

Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.

===Banda a 3 dB===
Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.

{{Colonne}}
;Su scala lineare (<math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>)
La larghezza di banda <math>B_p</math> è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> e la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math>:
* la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo <math>A</math>;
* la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math> corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo <math>A</math>.
[[File:3-dB bandwidth definition (linear).png|center|150px]]

{{Colonne spezza}}
;Su scala logaritmica (<math>{\left| H \left( f \right) \right|}_{\text{dB}}^2 = 20 \log_{10}{\left| H \left( f \right) \right|}</math>)
La larghezza di banda <math>B_p</math> è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> e la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math>:
* la frequenza di taglio inferiore <math>f_1</math> corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo <math>A_{\text{dB}}</math>;
* la frequenza di taglio superiore <math>f_2</math> corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo <math>A_{\text{dB}}</math>.
[[File:3-dB bandwidth definition (logarithmic).png|center|150px]]

{{Colonne fine}}

[[File:Principali tipi di filtri lineari.png|thumb|300px]]

;Classificazione dei filtri
* '''filtro passa-basso''' (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
* '''filtro passa-banda:''' il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
* '''filtro passa-alto:''' il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
* '''filtro elimina-banda:''' il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.

Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.

Per '''filtro ideale''' si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:
* guadagno unitario nella banda passante;
* guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).
[[File:Confronto filtro passa-basso ideale e reale.png|center|250px]]

I filtri ideali non sono realizzabili.

===Banda equivalente di rumore===
[[File:Equivalent noise bandwidth definition.png|thumb|150px]]

La larghezza di banda <math>B_{\text{eq}}</math> è pari alla larghezza del rettangolo:
* la cui altezza è pari al massimo <math>A</math> di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>;
* la cui area è uguale all'energia complessiva <math>E \left( H \right)</math> della funzione di trasferimento, cioè all'area di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math> sull'intero asse delle frequenze:
:<math>B_{\text{eq}} = \frac{E \left( H \left( f \right) \right)}{A}</math>
{{clear|right}}
===Banda che contiene una data percentuale di energia===
[[File:Percentage bandwidth definition.png|thumb|150px]]

La larghezza di banda <math>B_{x \%}</math> è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all'<math>x\%</math> dell'energia complessiva <math>E \left( H \right)</math> della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di <math>{\left| H \left( f \right) \right|}^2</math> sull'intero asse delle frequenze:
:<math>B_{x \%} = \left| a - b \right| : \, \int_a^b {\left| H \left( f \right) \right|}^2 df = \frac{x}{100} E \left( H \right)</math>
{{clear|right}}

===Estensione di frequenza===
La banda è l'estensione di frequenza <math>D</math>:
:<math>D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} df</math>
{{vedi anche|Teoria dei segnali2/Proprietà trasformata#Relazione tempo-frequenza|etichetta1=3. Proprietà trasformata}}

==Distorsione lineare==
La '''distorsione lineare''' è il fenomeno che modifica la forma del segnale di ingresso di un sistema LTI: le sinusoidi che passano per un sistema LTI non sono tutte moltiplicate per uno stesso valore costante. Un sistema LTI non presenta distorsione lineare se introduce solo un'amplificazione e/o un ritardo, senza modificare la forma:
:<math>y \left( t \right) = k x \left( t - t_D \right)</math>
cioè la funzione di trasferimento <math>H \left( f \right)</math> del sistema deve avere modulo costante e fase lineare:
:<math>H \left( f \right) = k e^{-j 2 \pi t_D f}</math>

I blocchi fondamentali ideali, amplificatore e ritardatore, qualsiasi frequenza si consideri non introducono alcuna distorsione lineare. Nella realtà non è possibile realizzare un sistema non distorcente ideale, ma si possono realizzare dei sistemi che non introducono distorsione limitatamente a una certa banda.

Una distorsione lineare è eliminabile con un '''equalizzatore''' posto in serie. Ad esempio, se un segnale <math>x \left( t \right)</math> viene distorto da un '''canale''', cioè un sistema LTI la cui funzione di trasferimento <math>H_c \left( f \right)</math> non è modificabile, è possibile porre in serie un equalizzatore che abbia una funzione di trasferimento <math>H_e \left( f \right)</math> con a denominatore proprio <math>H_e \left( f \right)</math> (che si semplifica nel prodotto delle funzioni di trasferimento nella serie):<ref>Il canale non dev'essere nullo.</ref>
:<math>H_e \left( f \right) = \frac{ke^{-j2 \pi t_D f}}{H_e \left( f \right)}</math>

==Modulazione e demodulazione==
===Modulazione===
Si ricorda che la modulazione di un segnale <math>x \left( t \right)</math>, cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide<ref>Non si considera la componente immaginaria sinusoidale.</ref>, corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:
:<math>\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale <math>x \left( t \right)</math> in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento <math>H_c \left( f \right)</math> di tipo passa-banda.

Il segnale modulato <math>X' \left( f \right)</math>:
:<math>X ' \left( f \right) = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>
attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:
:<math>Y \left( f \right) = \frac{A}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]</math>

===Demodulazione===
Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la '''demodulazione''':
<ol><li>il segnale ricevuto <math>Y \left( f \right)</math> viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza <math>f_0</math> di prima:</li></ol>
::<math>Y' \left( f \right) = \frac{A}{2} X \left( f \right) + \frac{A}{4} \left[ X \left( f - 2 f_0 \right) + X \left( f + 2 f_0 \right) \right]</math>
{{cassetto|Dimostrazione|
Assumendo per semplicità che l'ampiezza del segnale <math>x \left( t \right)</math> sia pari a 1, il segnale modulato vale:
:<math>\mathcal{F} \left\{ \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right)} \right\} = \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right]</math>

Con un'ulteriore modulazione si ottiene:
:<math>\mathcal{F} \left\{ \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t \right)}} \right\} = \left\{ \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] \right\} * \left\{ \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right] \right\} = \frac{1}{4} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f - f_0 \right) + 2 \delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) \right]</math>
::<math>\delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f - f_0 \right) = \delta \left( f - 2 f_0 \right)</math>
::<math>\delta \left( f - f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) = \delta \left( f \right)</math>
::<math>\delta \left( f + f_0 \right) * \delta \left( f + f_0 \right) = \delta \left( f + 2 f_0 \right)</math>
:<math>= \frac{1}{4} \left[ \delta \left( f - 2 f_0 \right) + 2 \delta \left( f \right) + \delta \left( f + 2 f_0 \right) \right]</math>
}}
:ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):
[[File:Frequency memodulation (step 1).png|center|250px]]
<ol><li value=2>le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.</li></ol>

Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:
* la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
* la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
* la frequenza centrale <math>f_0</math> deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.

Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.

===Multiplazione in frequenza===
Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze <math>f_i</math> diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.

==Note==
<references />
[[Categoria:Teoria dei segnali2|Diagrammi a blocchi]]