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{{Teoria dei segnali2}}
==Segnali troncati==
A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo <math>T</math>:<ref>Si sottointende che l'intervallo <math>T</math> è centrato rispetto all'origine.</ref>
:<math>\begin{cases} x_T \left( t \right) = x \left( t \right) \cdot \Pi_T \left( t  \right) \\
X_T \left( f \right) = X \left( f \right) * \mathcal{F} \left\{ \Pi_T \left( t  \right) \right\} = X \left( f \right) * T \mathrm{sinc} \left( f T \right)  \end{cases}</math>

Se il segnale <math>x \left( t \right)</math> ha una banda limitata in frequenza:
:<math>X \left( f \right) = 0 \quad \left| f \right| > \frac{B}{2}</math>
si può scrivere:
:<math>X_T \left( f \right) = T \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X \left( \varphi \right) \mathrm{sinc} \left( \left( f - \varphi \right) T \right) d \varphi</math>

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale <math>x \left( t \right)</math> è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:
:<math>X_T \left( f \right) \neq 0 \quad \left| f \right| > \frac{B}{2}</math>
per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:
[[File:Truncated signal Fourier transformation.png|center|225px]]

===Fenomeno di Gibbs===
Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:
:<math>\lim_{T \to + \infty} \left[ T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \right] = \delta \left( f \right)</math>
la seguente relazione:
:<math>\lim_{T \to + \infty} X_T \left( f \right) = X \left( f \right)</math>
continua a non valere se il segnale <math>x \left( t \right)</math> presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

;Esempio
:<math>\begin{cases} x \left( t \right) = B \mathrm{sinc} \left( B t \right) \\
X \left( f \right) = \Pi_B \left( f \right) \end{cases}</math>

Facendo tendere <math>T</math> a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:
[[File:Gibbs phenomenon example.png|center|200px]]

==Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione==
===Segnali a energia finita===
====Spettro di energia====
Lo '''spettro di energia''' <math>S_x \left( f \right)</math> di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:
:<math>S_x \left( f \right) \triangleq {\left| X \left( f \right) \right|}^2  = X \left( f \right) X^* \left( f \right) \Rightarrow E \left( x \right) = \int S_x \left( f \right) d f</math>

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:
:<math>Y \left( f \right) = H \left( f \right) X \left( f \right) \Rightarrow  S_y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_x \left( f \right) \Rightarrow E \left( y \right) = \int S_y \left( f \right) df</math>

====Funzione di autocorrelazione====
La '''funzione di autocorrelazione''' <math>R_x \left( \tau \right)</math> è definita:
:<math>R_x \left( \tau \right) \triangleq {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_x \left( f \right) \right\} = x \left( \tau \right) * x^* \left( - \tau \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) , x \left( t \right) \rangle</math>

Nell'origine:
:<math>R_x \left( 0 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) x^* \left( t \right) dt = E \left( x \right) \in {\R}^+</math>

;Proprietà
* Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:
::<math>R_x \left( \tau \right) = R_x^* \left( - \tau \right)</math>

:Se il segnale <math>x \left( t \right)</math> è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:
::<math>R_x \left( \tau \right) = R_x \left ( - \tau \right)</math>

* Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:
::<math>{\left| R_x \left( \tau \right) \right|}^2 = {\left| \int x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) d t \right|}^2 \leq E^2 \left( x \right) = R_x^2 \left( 0 \right)</math>

====Mutua correlazione====
Considerando una coppia di segnali <math>x \left( t \right)</math> e <math>y \left( t \right)</math>, si definiscono '''funzione di mutua correlazione''' <math>R_{xy} \left( \tau \right)</math>:
:<math>R_{xy} \left( \tau \right) \triangleq x \left( \tau \right) * y \left( - \tau \right) = \int x \left( t + \tau \right) y^* \left( t \right) dt = R_{yx}^* \left( \tau \right)</math>
e '''spettro di energia mutua''' <math>S_{xy} \left( f \right)</math>:
:<math>S_{xy} \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left( R_{xy} \left( \tau \right) \right) = X \left( f \right) Y^* \left( f \right) = S_{yx}^* \left( f \right)</math>

Considerando la somma <math>z \left( t \right)</math> di questi due segnali:
:<math>{\left| Z \left( f \right) \right|}^2 = {\left| X \left( f \right) \right|}^2 + {\left| Y \left( f \right) \right|}^2 + 2 \Re{\left\{ X \left( f \right) Y^* \left( f \right) \right\}} \Rightarrow \begin{cases} S_z \left( f \right) = S_x \left( f \right) + S_y \left( f \right) + 2 \Re{\left\{ S_{xy} \left( f \right) \right\}} \\ R_z \left( \tau \right) = R_x \left( \tau \right) + R_y \left( \tau \right) + 2 \Re{\left\{ R_{xy} \left( \tau \right) \right\}} \end{cases}</math>
{{cassetto|Dimostrazione|
:<math>R_z \left( \tau \right) = \int_{- \infty}^{+\infty} z \left( t + \tau \right) z^* \left( t \right) dt = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left[ x \left( t + \tau \right) + y \left( t + \tau \right) \right] \left[ x^* \left( t \right) + y^* \left( t \right) \right] dt = R_x \left( \tau \right) + R_y \left( \tau \right) + R_{xy} \left( \tau \right) + R_{yx} \left( \tau \right) = R_x \left( \tau \right) + R_y \left( \tau \right) + 2 \Re{\left\{ R_{xy} \left( \tau \right) \right\}}</math>
}}

===Segnali periodici===
Ricordando le formule della [[Teoria dei segnali2/Segnali e vettori#Periodicità|potenza]] e dell'[[Teoria dei segnali2/Serie e trasformata#Serie di Fourier|energia]], la potenza media di un segnale periodico <math>x \left( t \right)</math> è finita:
:<math>\begin{cases} P \left( x \right) = \frac{1}{T} E \left( x_T \right) \\
E \left( x_T \right) = T \sideset{}{_i}\sum {\left| \mu_i \right|}^2 \end{cases} \Rightarrow P \left( x \right) = \sideset{}{_i}\sum {\left| \mu_i \right|}^2 \in \R</math>

====Spettro di potenza====
Lo '''spettro di potenza''' <math>G_x \left( f \right)</math> di un segnale periodico <math>x \left( t \right)</math> vale:
:<math>G_x \left( f \right) \triangleq \sideset{}{_i}\sum {\left| \mu_i \right|}^2 \delta \left( f - \frac{i}{T} \right)</math>

La formula dello spettro di potenza <math>G_x \left( f \right)</math> ricorda quella della [[Teoria dei segnali2/Segnali periodici#Trasformata di Fourier di un segnale periodico|trasformata di Fourier]] di <math>x \left( t \right)</math>:
:<math>X \left( f \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_i \delta \left( f - \frac{i}{T} \right)</math>

====Funzione di autocorrelazione====
La funzione di autocorrelazione <math>R_x \left( \tau \right)</math> di un segnale periodico <math>x \left( t \right)</math> vale:
:<math>R_x \left( \tau \right) \triangleq \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt</math>

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

===Segnali aperiodici a potenza finita===
Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

====Spettro di energia====
Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce '''periodogramma''' lo spettro di energia del [[#Segnali troncati|segnale troncato]] <math>x_T \left( t \right)</math> (normalizzato):
:<math>S_T \left( f \right) \triangleq \frac{1}{T} {\left| X_T \left( f \right) \right|}^2</math>
dove <math>T</math> è un intervallo a piacere.

====Spettro di potenza====
Lo spettro di potenza <math>G_x \left( f \right)</math> è definito:
:<math>G_x \left( f \right) \triangleq \lim_{T \to + \infty} S_T \left( f \right) = \lim_{T \rightarrow + \infty} \frac{1}{T} {\left| X_T \left( f \right) \right|}^2</math>

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:
:<math>G_y \left( f \right) = G_x \left( f \right) {\left| H \left( f \right) \right|}^2</math>

====Funzione di autocorrelazione====
La funzione di autocorrelazione <math>\Phi_x \left( \tau \right)</math> è definita:
:<math>\Phi_x \left( \tau \right) \triangleq {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ G_x \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt</math>

L'integrale <math>\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt</math> cresce linearmente con <math>T</math>, quindi questa crescita è compensata da <math>\tfrac{1}{T}</math>.

==Note==
<references />
[[Categoria:Teoria dei segnali2|Spettro di energia e segnali troncati]]