Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore

La derivazione dell'equazione di Fourier porta a:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}-D\mathrm{\Delta }\rho =0$

Innanzitutto è bene notare che se $D$ avesse una dipendenza esplicita dalla posizione o dal tempo, ovvero se $D=D(x)$ oppure $D=D(t)$, allora avremmo una equazione alle derivate parziali a coefficienti non costanti da dover risolvere. A parte questa precisazione, vogliamo ora studiare il processo deduttivo dell'equazione del calore.

Innanzitutto si tenga presente che per l'equazione del calore è necessario considerare, al posto di $\rho$, una nuova quantità: la densità di energia. Sia essa definita come:

$ϵ=c\rho T$

Dove:

• $c$ rappresenta il calore specifico;
• $\rho$ rappresenta la densità di massa;
• $T$ rappresenta la temperatura assoluta.

Dunque, in un intervallo di tempo finito $\mathrm{\Delta }t$ si avrà una variazione di energia interna pari a:

$\mathrm{\Delta }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }c\rho T{d}^3\overrightarrow{x}$

Il corrispondente flusso di corrente di energia in $\partial \mathrm{\Omega }$ invece varrà:

$-\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\underset{\_}{J}\hat{n}d\sigma$

In analogia con la legge di Fick, si definisce $\underset{\_}{J}$ con la legge di Newton-Fourier:

$\underset{\_}{J}=-k\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}T,k>0\text{conducibilità termica}$

L'equazione di continuità pertanto può essere scritta, per un intervallo finito $\mathrm{\Delta }t$, come:

$\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }t}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }c\rho T{d}^3\overrightarrow{x}=-\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\underset{\_}{J}\hat{n}d\sigma$

Nell'ipotesi in cui l'intervallo di tempo $\mathrm{\Delta }t\to 0$, si ottiene:

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }c\rho T{d}^3\overrightarrow{x}=-\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\underset{\_}{J}\hat{n}d\sigma =-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }div(k\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}T)d^3\overrightarrow{x}$

Da cui segue:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }[\frac{\partial }{\partial t}(c\rho T)-div(k\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}T)]=0,\mathrm{\forall }\mathrm{\Omega }\text{misurabile}$

Dovendo l'integrale appena scritto essere nullo per ogni supporto misurabile $\mathrm{\Omega }$, dal teorema di annullamento si ha che:

$\frac{\partial }{\partial t}(c\rho T)-div(k\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}T)=0$

Da cui segue l'equazione del calore:

$\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{k}{c\rho }\mathrm{\Delta }T=0$

Prima di proseguire oltre è bene osservare che l'approccio adottato per derivare l'equazione delle onde, ovvero partire scrivendo l'equazione di Newton del sistema, in questo caso era totalmente inapplicabile. La derivazione dell'equazione del calore, così come quella dell'equazione di Fourier, si basa su leggi fenomenologiche generali e macroscopiche. Sarebbe pertanto impossibile effettuare il passaggio al continuo partendo dalle leggi di Newton in forma discreta, come invece si fa per derivare l'equazione delle onde.