Equazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo

Le funzioni armoniche possiedono importanti proprietà anche per quanto riguarda il massimo e il minimo sull'insieme di definizione $\mathrm{\Omega }$.

Teorema (Principio del massimo)

Sia $u\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\overline{\mathrm{\Omega }})$ armonica. $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ aperto e limitato. Allora:

• $\underset{x\in \overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u(x)=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{max}u(x)$
• Se $\mathrm{\Omega }$ è connesso ed esiste $x_0\in \mathrm{\Omega }$ tale che $\underset{x\in \overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u(x)=u(x_0)$ allora $u$ è costante in $\mathrm{\Omega }$.

Dimostrazione

Se la seconda conseguenza è verificata lo è anche la prima, quindi verifichiamo solo la seconda.

La dimostrazione è per assurdo. Supponiamo che $\mathrm{\exists }{x}_0\in \mathrm{\Omega }$ tale che $M=u(x_0)=\underset{x\in \overline{\mathrm{\Omega }}}{max}u(x)$. Prendiamo $r$ tale che $o<r<dist(x_0,\partial \mathrm{\Omega })$. Se $M$ è il massimo significa che:

$M=u(x_0)={\oint }_{B(x_0,r)}u(y)dy\le M$

Ma per il teorema della media non può essere minore, solo uguale. Quindi $u$ deve essere costante ed uguale a $M$ in tutta la palla.

Procediamo ora per connessione: considero un punto $x_1\in B(x_0,r)$, anche $u(x_1)=M$ che per ipotesi è un massimo, quindi posso creare una nuova palla e concludere di nuovo che $u$ è costante in tutta la palla. Siccome l'insieme è connesso posso raggiungere tutti i punti di $\mathrm{\Omega }$ con questo metodo dimostrando che la funzione $u$ è costante in tutto l'insieme. Quindi se una funzione armonica ha massimo, questo è situato sulla frontiera del dominio, altrimenti la funzione è costante.