Fisica tecnica/Trasmissione del calore per conduttività interna

La conduttività interna è il meccanismo di trasmissione del calore nei corpi solidi.

Prime definizioni sui campi termici

Postulato fondamentale della trasmissione del calore

« Condizione necessaria e sufficiente affinché vi sia trasmissione del calore è che esista una differenza di temperatura. »

Per temperatura si intende la funzione di punto che rappresenta lo stato termico del mezzo. Si utilizza il modello di mezzo continuo ignorando la sua natura macroscopicamente discontinua e infine si considera il calore come un fluido che si propaga e si conserva, ossia è ritenuta trascurabile la trasformazione di calore in energia. Attenzione: il discorso è delicato. Va infatti tenuto presente che il calore è la manifestazione di un transito di energia.

Stato termico

Tracciando l'insieme delle isoterme individuiamo il campo termico all'interno di un corpo. Le superfici isoterme rappresentano il luogo geometrico dei punti del corpo aventi in uno stesso istante la medesima temperatura.

Gradiente termico

Si avrà una maggiore propagazione del calore laddove saranno più fitte le superfici isoterme, cioè dove la temperatura varia da punto punto con maggiore rapidità, ossia dove c'è il maggiore gradiente termico.

Regime stazionario

Al variare nel tempo della forma e della posizione delle superfici isoterme varia lo stato termico del corpo. Se le isoterme assumono, dopo un certo tempo, forma e posizione che successivamente rimarrano invariate, allora all'interno del corpo avremo ancora differenze di temperatura, e quindi trasmissione di calore, ma le temperature nei singoli punti non varieranno più nel tempo.

Linea di flusso

La propagazione del calore segue linee che in ogni istante sono ortogonali in ogni loro punto alle superfici isoterme. Quindi le tangenti alle linee di flusso in ogni loro punto indicano la direzione di propagazione del calore. Due linee di flusso del calore non s'incontrano mai (tranne nelle singolarità pozzo o sorgente).

Tubo di flusso

Detta una linea chiusa interna al corpo e le infinite linee di flusso che passano per tutti i punti della linea chiusa. L'insieme delle linee di flusso costituisce un tubo di flusso. In regime stazionario le quantità di calore che, in tempi uguali, attraversano le varie sezioni del tubo sono uguali (Se così non fosse varierebbe nel tempo la temperatura dei vari punti del corpo contro l'ipotesi di regime stazionario)

Trasmissione del calore per conduzione

Postulato di Fourier

Siano $S_1$ e $S_2$ due superfici isoterme limitate da linee di flusso parallele poste a distanza $\mathrm{\Delta }x$ di temperatura rispettivamente $T_1$ e $T_2$.

Vale $Q=k\mathrm{\Delta }S\mathrm{\Delta }\tau \left(\frac{T_1-T_2}{\mathrm{\Delta }x}\right)$ e in generale:

« La quantità di calore $dQ$ che nell'intervallo di tempo $d\tau$ si trasmette attraverso la superficie $dS$ comunque orientata all'interno del corpo, è proporzionale a $d\tau$, $dS$ e alla derivata della temperatura secondo la normale alla superficie infinitesima, calcolata sulla superficie stessa, anche in regime non stazionario. »

In formula:

$dQ=-kdSd\tau \left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)[I]$

• $\frac{\partial T}{\partial n}$ è la componente del gradiente di $T$ lungo il versore della normale alla superficie isoterma considerata ($\overrightarrow{n}$).
• Il segno meno indica che si considerano positive le quantità di calore che si trasmettono nel senso delle $T$ decrescenti (Il calore viene preso come grandezza orientata).
• $k$ è la conducibiltà termica interna espressa in watt per unità di lunghezza e per unità di temperatura e dipende da:
  • la natura e lo stato del corpo in esame
  • dalla direzione della normale $\overrightarrow{n}$ e dalla posizione per corpi anisotropi e non omogenei

Integrando la $[I]$ si determina la quantità di calore che si trasmette attraverso una qualsiasi superficie sia essa isoterma o meno.

Equazione di Fourier (con dimostrazione)

Applicando il postulato di Fourier e la conservazione dell'energia si può ricavare un'espressione differenziale per la $T=(x;y;z;\tau )$.

Si facciano le seguenti ipotesi:

• esclusione delle trasformazioni di calore in lavoro e viceversa
• il corpo sia di materiale omogeneo ed isotropo

Preso un generico elemento di volume $dV=dxdydz$ interno al corpo, nel tempo $d\tau$, attraverso le 6 facce delimitanti $dV$, si trasmette:

• una quantità di calore $d{Q}_1$, pari alla somma algebrica delle quantità di calore trasmesse attraverso le singole facce
• una quantità di calore $d{Q}_2$, sviluppata all'interno di $dV$ attraverso un fenomeno qualsiasi

Posto che nel tempo $d\tau$ la temperatura di $dV$ subisca una variazione $dT$, inoltre imponendo che non si verifichino trasformazioni con cambiamento di stato e reazioni chimiche, si può applicare la conservazione dell'energia:

$d{Q}_1+d{Q}_2=dQ$ (trascurando anche le variazioni di volume)

Usando per $dQ$ la relazione calorimetrica valida in assenza di altri fenomeni, nel senso che il calore ha come unico effetto quello di variare $c$, si ha:

$dQ=cdmdT$

$c$ è il calore specifico e rappresenta il calore fornito all'unità di massa del corpo per avere una variazione unitaria di temperatura Introducendo la densità $\rho$ di $dV$ e riferendosi all'intervallo di tempo $d\tau$:

$dQ=c\rho dV\left(\frac{\partial T}{\partial \tau }\right)d\tau$

Sostituendo si ottiene:

$d{Q}_1+d{Q}_2=c\rho dV\left(\frac{\partial T}{\partial \tau }\right)d\tau$

Utilizzando la $[I]$ si esprimono le quantità di calore trasmesse attraverso le facce ABCD (ascissa $x$) e EFGH (ascissa $x+dx$) rispettivamente:

$(dQ{)}_x=-kdSd\tau {\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)}_x=-kdydzd\tau {\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)}_x$

$(dQ{)}_{x+dx}=-kdydzd\tau {\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)}_{x+dx}$

Quest'ultima relazione può essere sviluppata in serie di Taylor arrestandosi al primo ordine (si assume che $\lambda =cos{t}_x$ per le ipotesi di isotropia e omogeneità fatte considerando anche una dipendenza trascurabile dalla temperatura).

$(dQ{)}_{x+dx}=-kdydzd\tau [{\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)}_x+\frac{\partial }{\partial x}{\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)}_{x}dx]$

Le quantità di calore che si trasmettono nel verso delle $x$ crescenti sono assunte positive. Nella coppia di facce ortogonali all'asse $x$ si avrà una quantità di calore residua nel materiale pari a:

$(dQ{)}^x=(dQ{)}_x-(dQ{)}_{x+dx}=kdxdydzd\tau {\left(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}\right)}_x$

dove $(dQ{)}_x$ rappresenta la quantità di calore entrante nell'elemento materiale mentre $(dQ{)}_{x+dx}$ è la quantità di calore uscente.

$(dQ{)}^x$ è esprimibile attraverso la variazione di pendenza che indica proprio il calore rimasto in $dV$.

$(dQ{)}^x=kdVd\tau {\left(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}\right)}_x$

Ripetendendo il procedimento per le altre due coppie di facce ortogonali alle direzioni $y$ e $z$ si ottiene l'espressione della quantità di calore $d{Q}_1$:

$d{Q}_1=(dQ{)}^x+(dQ{)}^y+(dQ{)}^z=kdVd\tau [\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}]$

in maniera compatta

$d{Q}_1=kdVd\tau {\mathrm{\nabla }}^{2}T$

Detta $q_v$ la quantità di calore sviluppata nell'unità di tempo per un volume unitario nel corpo, in formule si può scrivere:

$d{Q}_2=q_{v}dVd\tau$

In definitiva sostituendo i termini ottenuti si ottiene:

$kdVd\tau {\mathrm{\nabla }}^{2}T+q_{v}dVd\tau =c\rho dV\left(\frac{\partial T}{\partial \tau }\right)d\tau$

Introducendo la diffusività termica $\alpha =\frac{k}{\rho c}$ si ottiene l'equazione di Fourier:

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}+\frac{q_v}{k}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial \tau }$

O ciò che è lo stesso in forma compatta:

${\mathrm{\nabla }}^{2}T+\frac{q_v}{k}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial \tau }$

Si possono vedere quattro casi particolari dell'utilizzo dell'equazione:

• Se il regime è stazionario allora $\frac{\partial T}{\partial \tau }=0$ e

  ${\mathrm{\nabla }}^{2}T+\frac{q_v}{k}=0$

• Per un corpo non isotropo né omogeneo con $k=k(x;y;z)$, nelle tre direzioni $x$, $y$ e $z$ si hanno le tre conducibilità $k_x$, $k_y$ e $k_z$.

  $\frac{\partial }{\partial x}\left(k_x\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(k_y\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(k_z\frac{\partial T}{\partial z}\right)+q_v=\rho c\frac{\partial T}{\partial \tau }$

• In assenza di sviluppo interno di calore $q_v=0$.

  $\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial \tau }$

• In assenza di sviluppo interno di calore $q_v=0$ e regime stazionario $\frac{\partial T}{\partial \tau }=0$.

  ${\mathrm{\nabla }}^{2}T=0$

Regime stazionario

Condizioni al contorno

L'equazione di Fourier è un'equazione differenziale alle derivate parziali di tipo parabolico e la sua integrazione necessita di condizioni al contorno. Con l'integrazione si ottiene la funzione $T=T(x;y;z;\tau )$ che determina il campo termico e risolve il problema della trasmissione del calore nei corpi solidi.

Fissati la porzione di spazio $V$ entro cui si vuole determinare il campo termico e la superficie limite $S$, nei problemi a regime variabile bisogna conoscere:

• il campo termico all'istante nel quale si inizia a considerare il fenomeno
• ciò che accade ai « bordi » del sistema in esame in ogni istante successivo

Esplicitando questi due punti si è condotti a distinguere due tipologie di condizioni:

$condizioneiniziale\{\begin{array}{c}\tau =0\\ T=T(x;y;z{)}_v\end{array}$

Attraverso la frontiera $S$ del sistema avviene la trasmissione di calore con il mezzo esterno. Esso può esprimersi attraverso il postulato di Fourier. In questo caso il contributo che si deve considerare è unicamente quello che attraversa $dS$ per conduzione ($d{Q}_1)$, quello proveniente dall'interno del corpo ($d{Q}_2)$esce integralmente poiché non vi è materia in grado di trattenerlo (si ha una superficie). Allora:

$d{Q}_1\equiv dQ=-kdSd\tau {\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_S$

La quantità di calore ceduta invece si esprime con relazioni analitiche diverse a secondo del modo in cui si ha trasmissione (tale relazioni saranno illustrate nei capitoli successivi sulla trasmissione del calore per conduzione ed irraggiamento).

• superficie $S$ isolata termicamente $dQ=0$

La condizione si riduce a:

${\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_S=0$

• superficie $S$ lambita da un fluido a temperatura $T_f$ con la quale il corpo scambia calore per convezione $dQ=hdSd\tau [T_f;(T_S-T_f);p_1(T)...p_n(T)](T_S-T_f)$.

La $T_S$ rappresenta la temperatura del corpo mentre le $p_1(T)...p_n(T)$ sono le variabili del fluido (pressione, volume etc..).

In questo caso:

$-k{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_S=hdSd\tau [T_f;(T_S-T_f);p_1(T)...p_n(T)](T_S-T_f)$.

• superficie $S$ in presenza di corpi a temperatura $T_i$ con i quali il corpo scambia calore per irraggiamento $dQ=dQ[T_i;T_S;(T_i^4-T_S^4)]$.

Per questa terza situazione:

$-k{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_S=dQ[T_i;T_S;(T_i^4-T_S^4)]$

In generale la condizione al contorno per $\tau \ge 0$ si scrive:

$condizionealcontorno\{\begin{array}{c}\tau \ge 0\\ T[x;y;z;\tau ;T;\frac{\partial T}{\partial x};\frac{\partial T}{\partial y};\frac{\partial T}{\partial z};p_1(T)...p_n(T){]}_S=0\end{array}$

In certi casi invece la condizione al contorno viene posta dando subito i valori che $T$ assume in ogni istante su $S$.

$\{\begin{array}{c}\tau \ge 0\\ T=T[x;y;z;\tau {]}_S\end{array}$

Tale condizione è raramente verificata in modo rigoroso nei casi reali, ma dà grandi semplificazioni ed è abbastanza ben approssimata nei casi in cui le condizioni al contorno sono tali da far discostare poco la $T_S$ da un valore noto, che si può confondere con la $T_S$ stessa.

Conducibilità termica

Nella tabella seguente si riportano i valori di $k$ in funzione dello stato di aggregazione, della temperatura e del materiale.

Stato	Influenza di $T$	Influenza del materiale
Aeriformi		$o(10^{-2})$
Liquidi non metallici		$o(10^{-1})$
Solidi amorfi		$o(10^{-1}-10^0)$
Solidi cristallini non metallici		$o(10^0)$
Solidi cristallini metallici		$o(10^1-10^2)$

« A parità di ogni altra condizione, dalla conducibiltà termica dipende la quantità di calore che si trasmette per conduzione attraverso qualsiasi superficie. »

Diffusività

Una volta noti i dati sulla conducibilità termica, si può calcolare la diffusività termica $\alpha =\frac{k}{c\rho }$ (noti calore specifico e densità molecolare).

Rispetto a $k$, $\alpha$ varia molto meno con la temperatura e quindi variazioni di $\alpha$ con la temperatura possono riternersi con buona approssimazione trascurabili.

Regime variabile

Nei casi in cui il campo termico nei corpi non resti stazionario ma muti nel tempo (cioè in ogni punto $\frac{\partial T}{\partial \tau }=0$) e attraverso una qualsiasi superficie il flusso termico assume valori diversi nei diversi istanti. L'equazione da usare per questo tipo di problemi sarà, limitandosi a problemi unidimensionali senza sviluppo interno di calore:

$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{1}{\alpha }\frac{dT}{d\tau }$

Appendice

• Cenni di teoria dei campi
• Equazione di Fourier in coordinate cilindriche
• Equazione di Fourier con conducibiltà termica interna variabile
• Corpo lambito da un fluido
• Problemi di trasmissione pluridimensionali
• Lastra piana con variazione brusca delle temperature superficiali
• Solido seminfinito con variazione brusca di temperatura superficiale
• Campo periodico di temperatura