Analisi matematica/Esempi di integrali non immediati

Esercizio 1°

$\underset{}{\int }\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$

Si ha: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ,

$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{c_1}{x-2}+\frac{c_2}{x-3}$ ,

$x+1=(c_1+c_2)x-3c_1-2c_2$ ,

da cui:

$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2=1\\ -3c_1-2c_2=1\end{array}$

Risolvendo il sistema si ha:$c_1=-3$ e $c_2=4$

Quindi:

$\underset{}{\int }\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx=\underset{}{\int }\frac{-3}{x-2}dx+\underset{}{\int }\frac{4}{x-3}dx=log\frac{(x-3{)}^4}{(x-2{)}^3}$

Esercizio 2°

$\underset{}{\int }\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx$

Eseguendo la divisione si ha:

$\underset{}{\int }\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=1+\frac{x^2+2}{(x-1)(x^2+1)}$

Scomponendo la seconda frazione ottenuta e determinando le costanti come nell'esempio prescedente si trova:

$\frac{x^2+2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{c_1}{x-1}+\frac{c_{2}x+c_2}{x^2+1}=\frac{3}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{x+1}{x^2+1}$

Quindi:

$\underset{}{\int }\frac{x^3+x+1}{x^3-x^2+x-1}dx=x+\frac{3}{2}log(x-1)-\frac{1}{4}log(x^2+1)-\frac{1}{2}arctang(x)=$

$=x+log\sqrt{\frac{(x-1{)}^3}{\sqrt{(}{x}^2+1)}}-\frac{1}{2}arctang(x)$

Esercizio 3°

$\int \frac{x^3-x^2+1}{(1+x^2{)}^3}dx$

Applicando la formula notevole $\int \frac{A(x)}{(a{x}^2+b{)}^n}dx=\frac{\sum _{i=1}^{2n-2}{c}_i{x}^{i-1}}{(a{x}^2+n{)}^{n-1}}+c_{2n-1}\log (a{x}^2+b)+c_{2n}{I}_0(x)$

Derivando i due membri, riducendo i risultati allo stesso denominatore e confrontando poi i numeratori, si trovano i valori:

$c_1=\frac{1}{4}{c}_2=\frac{-1}{2}{c}_3=\frac{3}{4}{c}_4=\frac{-1}{4}{c}_5=0c_6=\frac{1}{4}$

Esercizio 4°

$\int \frac{x-1}{\sqrt[2]{x}+\sqrt[3]{x}}dx$

ponendo $:x=t^{6}dx=6t^{5}dtsiha$

$\int \frac{x-1}{\sqrt[2]{x}+\sqrt[3]{x}}dx=6\int \frac{(t^6-1)t^3}{t+1}dt=6\int (t^5-t^4+t^3-t^2+t-1)t^{3}dt$

$=6\int (t^8-t^7+t^6-t^5+t^4-t^3)dt=\frac{2}{3}{t}^9-\frac{3}{4}{t}^8+\frac{6}{7}{t}^7-t^6+\frac{6}{5}{t}^5-\frac{3}{2}{t}^4=$

$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+\frac{6}{7}{x}^{\frac{7}{6}}-x+\frac{6}{5}{x}^{\frac{5}{6}}-\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}.$

Esercizio 5°

$\underset{}{\int }\frac{a}{\sqrt[2]{4x^2+x-3}}dx$

Si può eseguire con la posizione:$\sqrt[2]{4x^2+x-3}=t-2x$ in virtù della quale si riduce razionale in t; ma più rapidamente si risolve con la formula .....sugli integrali non immediati di funzioni irrazionali:

$\underset{}{\int }\frac{x}{\sqrt[2]{4x^2+x-3}}dx=c_1\sqrt[2]{4x^2+x-3}+c_2\int \frac{dx}{\sqrt[2]{4x^2+x-3}}.$

Derivando i due membri si ha:

$\frac{x}{\sqrt[2]{4x^2+x-3}}=\frac{c_1(4x+\frac{1}{2})}{\sqrt[2]{4x^2+x-3}}+\frac{c_2}{\sqrt[2]{4x^2+x-3}},$

da cui risulta$:c_1=\frac{1}{4},c_2=-\frac{1}{8}.$

Esercizio 6°

$\underset{}{\int }\frac{x^2-3x+1}{\sqrt[3]{3x+2}}dx$

Applicando la formula notevole $D)1$ sugli integrali di funzioni irrazionali si ha :

Esercizio 7°

$\int \sqrt[2]{x}\sqrt[2]{\sqrt[6]{x}+1}dx$

essendo $m=\frac{1}{2}n=\frac{1}{6,}$ si ha: $\frac{m+1}{n}=(\frac{1}{2}+1):\frac{1}{6}=9,$

e perciò ponendo : $\sqrt[6]{x}+1=t$ da cui : $x=(t-1{)}^6,dx=6(t-1{)}^{5}dt,$ l'integrale diventa :

$\int \sqrt[2]{x}\sqrt[2]{\sqrt[6]{x}+1}dx=6\int (t-1{)}^8\sqrt[2]{t}dt,$ che è di facile esecuzione.

Esercizio 8°

$\int {\sin }^{3}xdx$

$\int {\sin }^{3}xdx=-\int {\sin }^{2}xd\cos x=-\int (1-{\cos }^{2}x)d\cos x=-(\cos x-\frac{{\cos }^{3}x}{3}).$

Esercizio 9°

$\int {\cos }^{3}xdx=\int (1-{\sin }^{2}x)d\sin x=\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3}.$