Elettronica pratica/Circuito RC

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Quando l'interruttore è aperto, la tensione iniziale ai capi del condensatore è zero. Quando l'interruttore si chiude il condensatore si carica attraverso il resistore a $V_0$.

Allorché l'interruttore viene chiuso, il circuito deve seguire la relazione:

$V_0=v_c(t)+i_c(t)R$

$V_0=v_c(t)+\frac{d}{dt}{v}_c(t)RC$

che è derivato analizzando il circuiti con la legge della tensione di Kirchoff.

Facendo $\tau =RC$ e riadattando l'equazione:

$\frac{d}{dt}{v}_0(t)+\frac{1}{\tau }{v}_c(t)=\frac{1}{\tau }{V}_0$

Questa è una equazione differenziale lineare di primo ordine con fattore di integrazione:

$e^{\int \frac{1}{\tau }dt}=e^{\frac{t}{\tau }}$

Moltiplicando entrambi i lati col fattore di integrazione:

$\frac{d}{dt}{v}_0(t)e^{\frac{t}{\tau }}+\frac{1}{\tau }{v}_c(t)e^{\frac{t}{\tau }}=\frac{1}{\tau }{V}_0{e}^{\frac{t}{\tau }}$

Notare che:

$\frac{d}{dt}[e^{\frac{t}{\tau }}vc(t)]=\frac{d}{dt}{v}_c(t)e^{\frac{t}{\tau }}+\frac{1}{\tau }{v}_c(t)e^{\frac{t}{\tau }}$

Sostituendo ed integrando entrambi i lati:

$e\frac{t}{\tau }{v}_c(t)=V_0{e}^{\frac{t}{\tau }}+K$

dove K è le costante di integrazione.

Quando $t=0$:

$v_c(0)=0$

Pertanto:

$K=-V_0$

Quando $t>0$ si ha:

$e^{\frac{t}{\tau }}{v}_c(t)=V_0{e}^{\frac{t}{\tau }}-V_0$

$v_c(t)=V_0-V_0^{\frac{-t}{\tau }}$

$v_c(t)=V_0(1-e^{\frac{-t}{\tau }})$

Quando $t<0$:

$v_c(t)=0$