Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali

Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:

$\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$

Risoluzione

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:

$A(x)={[B(x)]}^n$

ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.

La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione $x=-x$, la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo $x^2=x^2$, che ha invece infinite soluzioni.

Consideriamo ad esempio questa equazione:

$\sqrt{x+1}=x-5$

Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:

$x+1=x^2-10x+25$

$x^2-11x+24=0$

$\mathrm{\Delta }=11^2-24\cdot 4=25$

$x=\frac{11\pm 5}{2}$

$x_1=8;x_2=3$

Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:

$x=8$

$\sqrt{8+1}=8-5$

$3=3$

$x=3$

$\sqrt{3+1}=3-5$

$2=-2$

L'unica soluzione accettabile è quindi $x=8$

Condizioni di concordanza

Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:

$\sqrt[n]{A(x)}=B(x)$ con n pari

dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi $A(x)\ge 0$). Se il risultato di $\sqrt[n]{A(x)}$ è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche $B(x)\ge 0$.

Tornando al nostro esempio

$\sqrt{x+1}=x-5$

Le condizioni da porre saranno le seguenti:

$x+1\ge 0\to x\ge -1$

$x-5\ge 0\to x\ge 5$

Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà: $x\ge 5$.

Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:

$x_1=8;x_2=3$

Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è $x=8$ in quanto 3 è minore di 5.

Altri casi

Il metodo delle condizioni è più veloce e più pulito, ma, con gli strumenti a nostra disposizione, non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.

Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x+6}=-1$

In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè $\sqrt{x+1}-\sqrt{x+6}$) non si può sapere se sia positiva o nulla.

Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:

$\sqrt{x+1}+1=\sqrt{x+6}$

Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:

$x+1\ge 0\to x\ge -1$

$x+6\ge 0\to x\ge -6$

quindi $x\ge -1$

Ora passiamo ai segni: sappiamo che $\sqrt{x+6}$ è sempre positivo o nullo così come lo è $\sqrt{x+1}$ e a sua volta dunque $\sqrt{x+1}+1$ sarà positivo.

Eleviamo entrambi i membri al quadrato:

$(\sqrt{x+1}+1{)}^2={\sqrt{x+6}}^2$

$x+1+2\sqrt{x+1}+1=x+6$

$2\sqrt{x+1}=x+6-x-2$

$2\sqrt{x+1}=4$

$\sqrt{x+1}=2$

Siamo quindi ricaduti in un caso precedente. Poniamo di nuovo la condizione che è ancora $x\ge -1$ e procediamo:

$x+1=4$

$x=3$

che è la nostra soluzione.

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