Analisi matematica/Classificazione delle equazioni

a) Equazione differenziale a derivate ordinarie di ordine n, forma tipica

$F(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2},.....\frac{d^{n}y}{d{x}^n})=0$

b) Equazionne differenziale a derivate parziali di ordine n, forma tipica

$\mathrm{\Phi }(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},......\frac{{\partial }^{n}z}{\partial x^n},.....\frac{{\partial }^{n}z}{\partial y^n})=0$

Nella prima equazione l'incognita è la funzione:$y=f(x)$ e nella seconda è la funzione: $z=\varphi (x,y)$.

L'equazione a) o b) si dice lineare, quadratica, o cubica ecc. secondoché le funzioni $F$, $\mathrm{\Phi }$ sono rispetto a y o z e alle loro derivate di 1°, 2°, 3° ecc.

Esempi:

$1)$

$xy+\sqrt{1-x^2}\frac{dx}{dy}=0$

è una equazione differenziale alle derrivate ordinarie lineare di primo ordine.

$2)$

$7\frac{d^{3}y}{d{x}^3}-\frac{d^{2}y}{de{x}^2}-3\frac{dy}{dx}+y=0$

è una equazione differenziale ordinaria lineare di terzo ordine.

$3)$

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0$

è una equazione differenziale alle derivate parziali di secondo ordine.