Fondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità

Template:Fondamenti di automatica2 Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato $x(\bullet )$ mediante la misura del movimento dell'uscita $y(\bullet )$ e dell'ingresso $u(\bullet )$ su un dato intervallo di tempo:

• osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
• rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.

Osservabilità

Uno stato $x^{*}\ne 0$ si dice non osservabile nell'intervallo $[t_0,t^{*}]$ se, per qualunque $t^{*}\in [t_0,+\mathrm{\infty }]$, il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ che parte dallo stato iniziale $x\left(t_0\right)=x^{*}\ne 0$ risulta:

$y_{\ell }\left(t\right)=0,\mathrm{\forall }t\in [t_0,t^{*}]$

In un sistema LTI con dimensione finita $n$, lo spazio di stato $X$ si divide in due parti:

• parte osservabile: il sottospazio di osservabilità $X_O$ di dimensione $o<n$, a cui sono associati $o$ autovalori della matrice $A$;
• parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ di dimensione $n-o$, a cui sono associati $n-o$ autovalori della matrice $A$.

L'insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati iniziali $x^{*}$ non osservabili nell'intervallo $[t_0,t^{*}]$, cioè gli stati iniziali $x^{*}\ne 0$ che non possono essere stimati (perché il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ è sempre nullo).

L'insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(t^{*}\right)$ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato $X$. L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo $t^{*}$ perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ è il più piccolo insieme di non osservabilità $X_{NO}\left(t\right)$:

$X_{NO}=\underset{t\in [t_0,+\mathrm{\infty })}{\min }{X}_{NO}\left(t\right)$

Il sottospazio di non osservabilità $X_{NO}$ è pari allo spazio nullo $𝒩(\cdot )$ della matrice di osservabilità $M_O$:

$X_{NO}=𝒩\left(M_O\right)$

dove la matrice di osservabilità $M_O$ è definita:

$M_O=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$

Gli stati iniziali $x^{*}$ osservabili nell'intervallo $[t_0,t^{*}]$ costituiscono il sottospazio di osservabilità $X_O$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità $X_{NO}$, che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine $ℛ(\cdot )$ della trasposta della matrice di osservabilità $M_O$:

$X_O=X_{NO}^{\mathrm{\perp }}={\left[𝒩\left(M_O\right)\right]}^{\mathrm{\perp }}=ℛ\left(M_O^T\right)=ℛ\left(\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& A^T{C}^T& \cdots & {A^T}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]\right):\{\begin{array}{c}{X}_O\cap X_{NO}=\varnothing \\ X_O\cup X_{NO}=X\end{array}$

La dimensione $o$ del sottospazio di osservabilità $X_O$ è pari al rango della matrice di osservabilità $M_O$:

$o=\rho \left(M_O\right)$

L'uscita $y(\bullet )$ è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.

Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità $X_O$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale $x^{*}\ne 0$:

$X_O=X\iff o=\rho \left(M_O\right)=n$

Rilevabilità

Uno stato $x^{*}=x\left(t^{*}\right)$ si dice non rilevabile nell'intervallo $[t_0,t^{*}]$ se, per qualunque $t^{*}\in [t_0,+\mathrm{\infty }]$, il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ che ha come stato finale $x\left(t^{*}\right)=x^{*}\ne 0$ risulta:

$y_{\ell }\left(t\right)=0,\mathrm{\forall }t\in [t_0,t^{*}]$

L'insieme di non rilevabilità $X_{ND}\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati finali $x^{*}$ non rilevabili nell'intervallo $[t_0,t^{*}]$, cioè gli stati finali $x^{*}\ne 0$ che non possono essere stimati (perché il movimento libero $y_{\ell }\left(t\right)$ è sempre nullo).

L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo $t^{*}$ perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità $X_{ND}$ è il più piccolo insieme di non rilevabilità $X_{ND}\left(t\right)$:

$X_{ND}=\underset{t\in [t_0,+\mathrm{\infty })}{\min }{X}_{ND}\left(t\right)$

Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità $X_D$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè è possibile stimare qualunque stato finale $x^{*}\ne 0$:

$X_D=X$

Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità $X_{ND}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità $X_D$:

$X_D=X_{ND}^{\mathrm{\perp }}:\{\begin{array}{c}{X}_D\cap X_{ND}=\varnothing \\ X_D\cup X_{ND}=X\end{array}$

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:

$X_O=X_D$

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità $X_O$ è incluso nel sottospazio di rilevabilità $X_D$:

$X_O\subseteq X_D$

Se la matrice $A$ è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

$X_O=X_R$

Problema della realizzazione

Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento $H(\bullet )$ è univoca:

$H\left(s\right)=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +a_0}=C{(sI-A)}^{-1}B+D$

Invece, data la funzione di trasferimento $H(\bullet )$ di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:

$H\left(s\right)=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +a_0}=\frac{d_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +d_0}{s^n+c_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +c_0}+d_n\Rightarrow A=\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& \ddots & \ddots & -c_1\\ 0& \ddots & 0& ⋮\\ 0& \cdots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{d}_0\\ d_1\\ ⋮\\ d_{n-1}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}{d}_n\end{array}\right]$

• la matrice $A$ è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice $A$ compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice $A$ è:

  $p\left(A\right)=\det (\lambda I-A)={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +c_1\lambda +c_0$

• il sistema dinamico individuato dalle matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ è sempre completamente osservabile.

Principio di dualità

Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.

Dato un sistema primale $S^P(A,B,C,D)$:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array},x(t)\in {ℝ}^n,u(t)\in {ℝ}^p,y(t)\in {ℝ}^q$

si può ottenere il sistema duale $S^D(A^T,C^T,B^T,D^T)$ scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:

$\{\begin{array}{c}\dot{w}(t)=A^{T}w(t)+C^{T}v(t)\\ z(t)=B^{T}w(t)+D^{T}v(t)\end{array},w(t)\in {ℝ}^n,v(t)\in {ℝ}^q,z(t)\in {ℝ}^p$

Si ricorda che il sistema primale $S^P$ ha il seguente sottospazio di raggiungibilità $X_R^P$:

$X_R^P=ℛ\left(M_R^P\right)=ℛ\left(\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]\right)$

e ha il seguente sottospazio di osservabilità $X_O^P$:

$X_O^P=ℛ\left({\left(M_O^P\right)}^T\right)=ℛ\left(\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& A^T{C}^T& \cdots & {A^T}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]\right)$

Il sottospazio di osservabilità $X_O^D$ del sistema duale $S^D$ coincide con il sottospazio di raggiungibilità $X_R$ del sistema primale $S^P$:

$X_O^D=ℛ\left({\left(M_O^D\right)}^T\right)=ℛ\left(\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]\right)=X_R$

e il sottospazio di raggiungibilità $X_R^D$ del sistema duale $S^D$ coincide con il sottospazio di osservabilità $X_O^P$ del sistema primale $S^P$:

$X_O^P=X_R^D$

Principio di dualità

• Il sistema primale $S^P$ è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale $S^D$ è completamente osservabile.
• Il sistema primale $S^P$ è completamente osservabile se e solo se il sistema duale $S^D$ è completamente raggiungibile.