Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità

Gli eventi

L’esito del lancio di una moneta o di un dado, l’esito di un’estrazione del lotto, il sesso di un nascituro, la durata di una lampadina o di un computer sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non può essere prevista con certezza; per questo vengono detti eventi casuali o aleatori (dal latino alea che significa “dado”). Spesso è necessario prendere decisioni in condizioni di incertezza: in quale università proseguire gli studi, decidere se fare il vaccino contro l’influenza, scommettere sulla vincita di una squadra, sull’uscita di una sequenza di numeri al gioco del lotto, … È quindi fondamentale nei confronti di un fenomeno dall’esito incerto, poter identificare quali sono gli eventi che si possono verificare ed inoltre riuscire ad esprimere il proprio grado di fiducia nel verificarsi di tali eventi.

Quali sono gli eventi possibili per un dato fenomeno aleatorio? Supponiamo di lanciare un dado e di essere interessati alla faccia che si presenta dopo aver effettuato il lancio. Il lancio del dado rappresenta l’esperimento oggetto del nostro studio, l’uscita del numero 4 o l’uscita di un numero dispari sono detti eventi aleatori o casuali, in quanto sappiamo che si presenterà una delle facce, ma non sappiamo quale.

Se si considera la proposizione “Oggi farà bel tempo” è evidente che non è chiaro cosa si intende per bel tempo (senza pioggia? senza nuvole? con il sole?) né il luogo a cui ci si riferisce. Sarebbe meglio affermare per esempio “Stamani a Milano ci sarà il sole”. È necessario quindi specificare con precisione l’evento che si considera in modo da essere sicuri se l’evento si è verificato o meno.

Nel lancio di un dado sono possibili sei risultati, espressi dai numeri da 1 a 6 e solo uno di essi si realizzerà.

Chiamiamo questi sei risultati eventi elementari e indichiamo il loro insieme con Template:Testo centrato

L’insieme $\mathrm{\Omega }$ non esaurisce la totalità degli eventi collegati al lancio del dado; non comprende per esempio l’evento $P=\text{numero pari}$ o l’evento $M=\text{ numero minore di }3$. Tuttavia $\mathrm{\Omega }$ permette di rappresentare qualsiasi evento come suo particolare sottoinsieme.

Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte e consideriamo i seguenti eventi: “uscita di un asso di cuori” e “uscita di un re”. Qual è la differenza fra questi due eventi? Il primo dei due è un evento elementare, mentre l’altro è un evento formato da quattro eventi elementari (tutti i possibili re presenti nel mazzo) e quindi è un evento composto.

Sono esempi di eventi composti l’uscita di un numero dispari nel lancio di un dado o l’estrazione di due palline rosse da un’urna contenente 3 palline rosse e 7 nere.

Consideriamo ora due eventi che rivestono una particolare importanza: l’uscita del 7 nel lancio di un dado e l’uscita di un numero minore di 7, sempre nel lancio di un dado. È evidente che l’uscita del 7 non si verificherà mai, mentre l’uscita di un numero minore di 7 è un evento sempre verificato.

Gli eventi elementari di un insieme $A$ e gli eventi composti che si possono ottenere con gli eventi elementari di $A$ formano lo spazio degli eventi che viene indicato con $\mathrm{\wp }(A)$.

Gli eventi sono gli oggetti dello studio della probabilità e in genere si indicano con le lettere maiuscole $A$, $B$, … mentre per le operazioni e le relazioni tra eventi si usano i corrispondenti simboli che si sono utilizzati per le operazioni e le relazioni tra insiemi. Molto utile è anche la rappresentazione con i diagrammi di Venn (vedi figura seguente).

Insiemi e eventi

Ricordiamo che la cardinalità dell’insieme delle parti cioè il numero degli eventi che si possono formare con gli elementi di $\mathrm{\Omega }$ è dato da $\text{card}(\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega }))=2^n$, dove $n$ rappresenta il numero degli eventi elementari. Così nel lancio del dado abbiamo $2^6=64$ possibili eventi, considerando anche l’insieme vuoto $\mathrm{\varnothing }$ che rappresenta l’evento impossibile e l’insieme $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ che rappresenta l’evento certo.

Definizioni di probabilità

Nel linguaggio comune l’uso del termine probabilità è abbastanza chiaro e uniforme. Si dice che un certo fatto o evento è più o meno probabile a seconda che ci si aspetti che si verifichi più o meno facilmente.

La probabilità è dunque una misura del grado di fiducia associato al verificarsi di un evento e dipende dalle informazioni che si hanno a disposizione al momento di effettuare la valutazione.

Se diciamo che oggi pioverà con probabilità $0,20=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$ intendiamo che siamo disposti a scommettere 20 centesimi per avere 1 euro nel caso che piova e perdere i 20 centesimi della posta nel caso che non piova.

Per ottenere una valutazione coerente, per valutare quanto siamo disposti a perdere (vincere) nella scommessa, dobbiamo immedesimarci nei due ruoli, quello dello scommettitore e quello del banco. Inoltre le somme che scommettiamo devono essere significative per chi procede alla valutazione. Nessun individuo coerente scommetterebbe su un evento impossibile una quota maggiore di 0 qualunque sia la vincita e nessun individuo pagherebbe una vincita per il verificarsi di un evento certo. Da queste considerazioni deduciamo che la misura della probabilità appartiene all’intervallo $[0$, $1]$, essendo $0$ il valore che corrisponde all’evento impossibile e $1$ quello che corrisponde all’evento certo.

La valutazione classica

La valutazione della probabilità a volte si riconduce a semplici giudizi di equiprobabilità: cioè ogni evento elementare dello spazio degli eventi ha la stessa probabilità. Così nel lancio di un dado, nel gioco della tombola, nel gioco delle carte tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità. Quindi se $n$ sono gli eventi elementari la probabilità di ciascuno di essi è $\frac{1}{n}$.

La probabilità di un evento $E$ è data dal rapporto tra il numero $f$ dei casi favorevoli al verificarsi di $E$ e il numero $n$ di tutti i casi possibili, purché ugualmente possibili. In simboli: Template:Testo centrato

Mentre nei giochi di sorte si realizzano le condizioni per calcolare tale probabilità (conoscenza a priori dei casi possibili, di quelli favorevoli e condizione di equiprobabilità) esistono altri eventi casuali per i quali è difficile o impossibile calcolare tale probabilità.

Esempio: Lanciando in aria 3 monete, quale dei seguenti eventi è più probabile? Ottenere su 3 monete testa; ottenere su 1 moneta testa e su 2 monete croce. Per rispondere alla domanda occorre calcolare le probabilità dei due eventi. Applichiamo la definizione classica. Dobbiamo calcolare tutti gli eventi possibili e tutti gli eventi favorevoli. Aiutiamoci con una tabella per elencare tutti i casi.

prima moneta seconda moneta terza moneta T T T T T C T C T T C C C T T C T C C C T C C C

I casi possibili sono 8. C’è un solo caso favorevole all’evento “3 volte testa”. La probabilità di questo evento è quindi $p=\frac{1}{8}=0,125=12,5\mathrm{\%}$. I casi favorevoli all’evento “1 moneta testa e 2 monete croce” sono CCT, CTC, TCC, quindi 3, allora $p=\frac{3}{8}=0,375=37,5\mathrm{\%}$. Possiamo concludere che l’evento più probabile è ottenere 1 testa e 2 croci.

La valutazione sperimentale

Se si considera una successione di eventi dello stesso tipo e che avvengono in condizioni simili come l’uscita di una determinata faccia in un dado truccato, si indica come frequenza relativa $F(E)$ il rapporto tra il numero $v$ dei casi in cui si è verificato l’evento e il numero totale delle prove $n$, cioè $F(E)=\frac{v}{n}$.

In una serie di prove ripetute nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi intorno a un valore ben preciso al crescere del numero delle prove effettuate. Si assume come valutazione della probabilità dell’evento $E$ il valore intorno al quale tende a stabilizzarsi la frequenza relativa dello stesso evento, all’aumentare del numero delle prove ripetute alle stesse condizioni: $P(E)\approx F(E)=\frac{v}{n}$. L’errore che si commette diventa sempre più piccolo al crescere di $n$. La valutazione della probabilità così definita si chiama valutazione sperimentale, statistica, a posteriori o frequentista.

Anche l’ambito di applicazione di tale valutazione è limitato in quanto l’ipotesi che sta alla base della definizione è che l’evento a cui si vuole assegnare la probabilità sia pensabile come uno dei possibili risultati di una determinata prova e che tale prova sia ripetibile infinite volte nelle stesse identiche condizioni. Si fa molto uso di questo schema di valutazione per stime della probabilità in campo economico e sanitario.

La valutazione soggettiva

La valutazione soggettiva della probabilità è la definizione che abbiamo dato all’inizio del capitolo: la probabilità dell’evento $A$ è quel valore $p$ che l’individuo che procede alla valutazione è disposto a pagare per ricevere una vincita unitaria. Se un individuo valuta $\frac{1}{4}=25\mathrm{\%}$ la probabilità di un certo evento $E$ vuol dire che è disposto a pagare $25$ euro a un ipotetico banco per riceverne $100$ nel caso che $E$ si verifichi. Naturalmente la scommessa va accettata anche come banco che deve essere disposto a scommettere il $75\mathrm{\%}=1-p$ sul fatto che $E$ non si verifichi: $P(E)=\frac{q}{S}$ con $q=25$ e $S=100$.

Le scommesse

La definizione soggettiva si applica anche alle scommesse. Supponiamo di scommettere sul verificarsi di un evento $E$ a cui attribuiamo probabilità $p$. Stabiliamo inoltre di giocare e quindi perdere $q$ euro nel caso l’evento non si verifichi e di guadagnare $g$ euro nel caso l’evento si verifichi. In genere le scommesse si indicano in questo modo: si mette in rapporto il guadagno con la perdita $\frac{g}{q}$ o anche $g:q$ che si legge $g$ a $q$. In questo caso $q$ e $g$ si chiamano le poste o le messe del gioco.

Che relazione c’è tra questo rapporto e la probabilità?

Se in un grande numero $n$ di scommesse così congegnate vincessimo la somma $g$ per $np$ di volte e perdessimo la somma $q$ per $n(1-p)$ volte, affinché il gioco risulti equo dovremmo avere Template:Testo centrato e visto che $n\ne 0$ si può dividere per $n$ ottenendo Template:Testo centrato Isoliamo $p$ nell’uguaglianza: Template:Testo centrato La relazione è dunque questa: la probabilità di una scommessa $g:q$ è data dalla perdita $q$ al numeratore e al denominatore la somma complessiva che si incassa data dal guadagno più quello che si è scommesso.

Probabilità dell’unione di due eventi

La misura della probabilità si può applicare a tutti gli eventi individuati dall’insieme delle parti degli eventi elementari $\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$. Qualsiasi evento si può definire come sottoinsieme dell’insieme elementare (elencando gli eventi elementari che ne fanno parte) oppure enunciando una proposizione vera nel caso in cui l’evento si verifichi. Possiamo quindi poter esprimere la probabilità su eventi composti da due o più eventi di $\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ attraverso le operazioni di unione e intersezione tra insiemi che corrispondono alle operazioni di disgiunzione inclusiva e di congiunzione nelle proposizioni.

Per la probabilità dell’evento unione di due eventi occorre distinguere tra eventi tra loro incompatibili ed eventi tra loro compatibili.

Unione di due eventi tra loro incompatibili

Possiamo quindi affermare che dati due eventi incompatibili cioè tali che $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ la probabilità dell’evento unione è dato dalla uguaglianza: Template:Testo centrato

Può essere utile per avere un’idea intuitiva di questa uguaglianza pensare alla probabilità come una massa unitaria distribuita sugli eventi. Se voglio la probabilità di $A\cup B$, considero la massa presente su $A$ che addiziono a quella presente su $B$ (in analogia al caso dell’unione di insiemi disgiunti).

Unione di due eventi tra loro compatibili

Dagli esempi svolti possiamo enunciare il seguente teorema:

Se pensiamo alla probabilità come una massa unitaria distribuita sugli eventi, per calcolare la probabilità di $A\cup B$, considero la massa presente su $A$ che addiziono a quella presente su $B$ a cui devo togliere la massa presente su $A\cap B$ che è stata contata due volte.

Probabilità dell’evento complementare

Dimostrazione: Per il postulato della probabilita introdotto precedentemente: Template:Testo centrato per il teorema delle probabilità totali essendo i due eventi incompatibili: Template:Testo centrato e per la proprietà transitiva dell’uguaglianza: Template:Testo centrato

Se pensiamo all’analogia della una massa unitaria distribuita sugli eventi, la probabilità dell’evento $\bar{E}$ sarà data dalla massa unitaria meno la probabilità di $E$.

La probabilità dell’evento intersezione di due eventi

Dati due eventi $A$, $B\in \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ ci proponiamo di calcolare la probabilità dell’evento intersezione cioè $P(A\cap B)$ partendo dalla probabilità degli eventi componenti $P(A)$ e $P(B)$. Si tratta quindi di stimare con quale probabilità i due eventi avvengono congiuntamente. Occorre innanzitutto verificare che i due eventi non siano incompatibili in quanto in questo caso l’evento intersezione è impossibile.

Per la probabilità dell’intersezione di due eventi occorre distinguere tra eventi tra loro indipendenti e eventi tra loro dipendenti.

Intersezione di due eventi tra loro indipendenti

Diagrammi ad albero

Una rappresentazione grafica che può risultare utile nello studio della probabilità dell’evento intersezione detto anche studio delle probabilità composte è il diagramma ad albero. Le linee dell’albero si dicono rami, mentre i punti da cui partono e arrivano i rami si dicono nodi, il nodo iniziale si chiama radice.

La costruzione di un diagramma ad albero nel caso delle probabilità composte consente di eseguire un’analisi completa di tutti i possibili esiti di una prova. Ogni percorso dell’albero che va dalla radice al nodo terminale indica una sequenza di eventi congiunti, incompatibile con qualsiasi altro percorso dell’albero. La probabilità di ogni singolo evento si indica sui rami e moltiplicando le probabilità che si incontrano nel percorso si ottiene la probabilità della congiunzione degli eventi che formano il percorso. Dato che ogni percorso che va dalla radice al nodo terminale individua eventi incompatibili, se vogliamo trovare l’unione di due o più percorsi possiamo semplicemente sommarli. L’esempio precedente può essere schematizzato in questo modo:

Diagramma ad albero per la probabilità

L’albero può essere semplificato considerando gli eventi coinvolti e i loro complementari.

Il problema del Cavalier de Méré

Il Cavalier de Méré pose al grande matematico francese Blaise Pascal nel 1654 il seguente problema.

Intersezione di due eventi tra loro dipendenti

Per la proprietà commutativa dell’intersezione abbiamo: $A\cap B=B\cap A$ quindi anche $P(A\cap B)=P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A/B)$.

Possiamo ora meglio definire la dipendenza e l’indipendenza di due eventi.

Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata

Dall’uguaglianza del teorema delle probabilità composte isoliamo la probabilità condizionata per meglio individuare qual è il suo significato. $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)$. Da ciò segue Template:Testo centrato

Mettiamo a confronto $P(B)$ e $P(B/A)$ aiutandoci con i diagrammi di Venn.

Schema per la probabilità condizionata

Immaginiamo la misura della probabilità come una massa unitaria da spalmare sull’evento. La probabilità di $B$ è la quantità di massa da spalmare sull’evento $B$ in relazione allo spazio degli eventi $\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$. Nell’ipotesi di ricevere un’ulteriore informazione dal verificarsi di $A$, questa informazione modifica la probabilità di $B$. L’insieme di riferimento per la probabilità di $B$ non sarà più $\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$, ma $\mathrm{\wp }(A)$ e $P(B/A)$ sarà data dal rapporto della massa spalmata tra ciò che hanno in comune $A$ e $B$ cioè $P(A\cap B)$ e la probabilità di $A$ cioè $P(A)$: $P(B/A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

Se $P(B/A)=P(B)$ la parte della massa unitaria spalmata su $B$ e il rapporto tra la massa spalmata sull’intersezione tra $A$ e $B$ e la massa spalmata su $A$ rimane invariata e i due eventi si dicono indipendenti.

Se $P(B/A)>P(B)$ si dice che l’evento $B$ è correlato positivamente all’evento $A$. Cioè il verificarsi di $A$ aumenta la probabilità dell’evento $B$.

Se $P(B/A)<P(B)$ si dice che l’evento $B$ è correlato negativamente all’evento $A$. Cioè il verificarsi di $A$ diminuisce la probabilità dell’evento $B$.

Il problema dell’esempio precedente si può schematizzare anche come segue: in un’urna ci sono $365$ palline numerate da $1$ a $365$. Qual è la probabilità di estrarre 2 volte la stessa pallina in 23 estrazioni, rimettendo la pallina nell’urna dopo ogni estrazione?