Meccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati

Un sistema di oscillatori accoppiati presenta due oscillatori armonici che sono soggetti anche a una forza di mutua interazione. L'esempio più semplice che possiamo fare è quello di due punti collegati attraverso due molle a dei supporti fermi, ad esempio un muro, che sono a loro volta collegati tra loro da un'altra molla. Per semplicità, consideriamo le due masse uguali, ovvero $m_1=m_2=m$, le costanti elastiche delle due molle agli estremi uguali, pari a $k$, e la costante della molla centrale $k_{12}$ essere $k_{12}<<k$.

Per definire le posizioni dei corpi sfruttiamo le lunghezze a riposo delle due molle: chiameremo $x_1$ la distanza del corpo 1 dalla lunghezza a riposo della molla 1, mentre $x_2$ è la distanza del corpo 2 dalla lunghezza a riposo della molla 2. Considerato l'effetto della molla centrale, avremo che il corpo di destra sarà spostato dalla lunghezza a riposo verso il centro, quindi verso destra, mentre il corpo di sinistra sarà spostato verso sinistra in direzione del centro. Preso un sistema di riferimento rettilineo e parallelo e al piano, crescente da sinistra verso destra, avremo che:

• $x_1$ allungamento corpo 1;
• $-x_2$ allungamento corpo 2.

L'allungamento della molla centrale sarà quindi pari a $x_2-x_1$. Il sistema che si ottiene è un sistema a due gradi di libertà.

Le forze che agiscono sui corpi sono invece:

• $f=-k{x}_1$ forza molla 1,
• $f=-k{x}_2$ forza molla 2,
• $f=k_{12}(x_2-x_1)$ forza molla centrale sul corpo 1,
• $f=k_{12}(x_2-x_1)$ forza molla centrale sul corpo 2.

Otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali:

$\{\begin{array}{cc}& m\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}=\underset{\text{forza di}}{\underbrace{-k{x}_1}}+\underset{\text{forza di}}{\underbrace{k_{12}(x_2-x_1)}}\\ & m\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}=\stackrel{\text{richiamo}}{\overbrace{-k{x}_2}}+\stackrel{\text{interazione}}{\overbrace{k_{12}(x_2-x_1)}}\end{array}$

Esplicitando i termini otteniamo:

$\{\begin{array}{cc}& \frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+\frac{k+k_{12}}{m}{x}_1=\frac{k_{12}}{m}{x}_2[1]\\ & \frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+\frac{k+k_{12}}{m}{x}_2=\frac{k_{12}}{m}{x}_1[2]\end{array}$

In questo sistema sono presenti due oscillatori accoppiati, in cui il moto di uno è in funzione del moto dell'altro. Un modo per disaccoppiarli è attraverso il metodo dei moti normali: si trovano due moti e si fa in modo che le equazioni degli oscillatori siano combinazione lineare dei moti normali. Per fare ciò definiamo due nuovi termini:

$x=\frac{x_1+x_2}{2}y=\frac{x_1-x_2}{2}$

A questo punto, compiamo due operazioni. Prima sommiamo le equazioni [1] e [2] e le dividiamo per 2; dopo le sottraiamo e le dividiamo nuovamente per due, ottenendo le equazioni del moto di $x$ e $y$:

$\{\begin{array}{cc}& \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0\\ & \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{k+2k_{12}}{m}y=0\end{array}$

Notiamo immediatamente che sono due oscillatori disaccoppiati, e ne conosciamo la soluzione:

$\begin{array}{cc}& x=x_0\sin ({\omega }_{o}t+{\phi }_0){\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\\ & y=y_0\sin (\overline{\omega }t+\overline{\phi })\overline{\omega }=\sqrt{\frac{k+2k_{12}}{m}}\end{array}$

Ricordando le definizioni di $x$ e $y$:

$\begin{array}{cc}& x_1=x+y=x_0\sin ({\omega }_{o}t+{\phi }_0)+y_0\sin (\overline{\omega }t+\overline{\phi })\\ & x_2=x-y=x_0\sin ({\omega }_{o}t+{\phi }_0)-y_0\sin (\overline{\omega }t+\overline{\phi })\end{array}$

I moti $x(t)$ e $y(t)$ sono i due moti normali; come possiamo notare, $x_1$ e $x_2$ sono due combinazioni lineari dei moti normali.

Un'osservazione rapida che possiamo fare è che, se $y_0=0$ la molla centrale non si allunga, ma i due corpi oscillano parallelamente.

Finiamo di studiare il caso, semplificando il problema. Poniamo quindi: $\phi =\overline{\phi }=0$ e $x_0=y_0$, con $x_2=0$ al tempo $t=0$. Le due equazioni diventano così:

$\begin{array}{cc}& x_1=x+y=x_0\sin ({\omega }_{o}t+)+x_0\sin (\overline{\omega }t+)\\ & x_2=x-y=x_0\sin ({\omega }_{o}t+)-x_0\sin (\overline{\omega }t+)\end{array}$

Utilizzando le regole di prostaferesi terminiamo finalmente lo studio ottenendo le due equazioni finali del moto:

$\begin{array}{cc}& x_1=2x_0\sin \left(\frac{{\omega }_0+\overline{\omega }}{2}t\right)\cos \left(\frac{{\omega }_0-\overline{\omega }}{2}t\right)\\ & x_2=2x_0\sin \left(\frac{{\omega }_0-\overline{\omega }}{2}t\right)\cos \left(\frac{{\omega }_0+\overline{\omega }}{2}t\right)\end{array}$