Termodinamica classica/Trasformazione adiabatica

Una trasformazione adiabatica è caratterizzata dal fatto che non sono presenti scambi di calore durante tutta la trasformazione, ovvero $Q=0$ per tutta la trasformazione; dal primo principio ne consegue anche che $\mathrm{\Delta }U=-L$. Questo è un modo sempre valido per calcolare il lavoro di un'adiabatica, che, a volte, può risultare difficile a seconda dei casi (soprattutto quando la trasformazione è irreversibile). Consideriamo una compressione adiabatica, dove si passa da $P_0+\mathrm{\Delta }$. Valuteremo distintamente il caso reversibile e il caso irreversibile.

Adiabatica reversibile

Partiamo, come già detto, dal primo principio. Abbiamo che $\mathrm{\Delta }U=-L$, poiché il calore scambiato è nullo. Poiché la trasformazione è reversibile, possiamo anche scrivere $dU=-\delta L$ e, sfruttando la definizione di lavoro termodinamico, vale anche $dU=-pdV$.

Consideriamo che adesso il nostro sistema sia un gas perfetto. Possiamo allora scrivere:

$\begin{array}{cc}& n{c}_{V}dT=-pdV\\ & n{c}_{V}dT=-nRT\frac{dV}{V}\\ & \frac{dT}{T}=-\frac{R}{c_V}\frac{dV}{V}\end{array}$

Ricordando le espressioni tra $c_p$ e $c_V$, possiamo scrivere $R=c_p-c_V$, da cui otteniamo che:

$\frac{R}{c_V}=\frac{c_p-c_V}{c_V}=\frac{c_p}{c_V}-1=\gamma -1$

Dove $\gamma =\frac{c_p}{c_V}>1$ è una costante termodinamica che varia per diversi tipi di gas. Fatte queste considerazioni, possiamo tornare alla nostra equazione differenziale e integrarla:

$\begin{array}{cc}& \underset{T_1}{\overset{T_2}{\int }}\frac{dT}{T}=-(\gamma -1)\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}\frac{dV}{V}\\ & \log \frac{T_2}{T_1}=(1-\gamma )\log \frac{V_2}{V_1}=\log {\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{(1-\gamma )}\\ & \frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{(1-\gamma )}\\ & \frac{T_2}{V_2^{1-\gamma }}=\frac{T_1}{V_1^{1-\gamma }}\\ & T{V}^{\gamma -1}=\text{cost}\end{array}$

Abbiamo ottenuto l'espressione della trasformazione adiabatica reversibile dei gas perfetti. Possiamo sfruttare la legge dei gas per ottenere le altre due relazioni equivalenti; scrivendo $T=\frac{pV}{nR}$, otteniamo che:

$\frac{pV}{nR}{V}^{\gamma -1}=\text{cost}\to p{V}^{\gamma }=\text{cost}$

Che è l'espressione più nota per l'adiabatica; esprimendo anche il volume come $V=\frac{nRT}{p}$, otteniamo l'ultima espressione:

$P{\left(\frac{T}{p}\right)}^{\gamma }=\text{cost}\to p^{\gamma -1}{T}^{\gamma }=p{T}^{\frac{\gamma }{1-\gamma }}=\text{cost}$

In un grafico $(p,V)$ la trasformazione adiabatica è rappresentata da una curva più ripida dell'isoterma (la cui relazione era, lo ricordiamo, $pV=\text{cost}$).

Possiamo calcolare la temperatura di arrivo $T_{rev}$ sfruttando la legge dell'adiabatica:

$\begin{array}{cc}& p_0{T}_0^{\frac{\gamma }{1-\gamma }}=(p_0+\mathrm{\Delta })T_{rev}^{\frac{\gamma }{1-\gamma }}\\ & T_{rev}=T_0{(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}\end{array}$

Adiabatica irreversibile

Consideriamo anche stavolta una compressione, in cui si passa dallo stato $p_0,T_0,V_0$ allo stato $p_0+\mathrm{\Delta },T_{irr},V_{irr}$. In questo caso, poiché la trasformazione è irreversibile, non possiamo sfruttare la condizione di quasi staticità per calcolare l'espressione del lavoro. Tuttavia, il primo principio è sempre valido, e vale $\mathrm{\Delta }U=-L$. L'espressione generale del lavoro è ancora valida, per cui potremo scrivere:

$\begin{array}{cc}& n{c}_V\mathrm{\Delta }T=-(p_0+\mathrm{\Delta })(V_{i}rr-V_0)\\ & n{c}_V(T_{irr}-T_0)=-(p_0+\mathrm{\Delta })(V_{irr}-V_0)\end{array}$

Consideriamo ancora una volta il sistema come se fosse un gas perfetto; possiamo allora esprimere i volumi in funzioni di pressioni e temperature, così da calcolarci la temperatura di arrivo:

$\begin{array}{cc}& n{c}_V(T_{irr}-T_0)=-(p_0+\mathrm{\Delta })(\frac{nR{T}_{irr}}{p_0+\mathrm{\Delta }}-\frac{nR{T}_0}{p_0})\\ & n{c}_V(T_{irr}-T_0)=nR[T_0(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})-T_{irr}]\\ & T_{irr}[n{c}_V+nR]=nR{T}_0(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})+n{c}_V{T}_0\\ & T_{irr}{c}_V=R{T}_0(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})+c_V{T}_0\\ & T_{irr}=T_0(1+\frac{R}{c_p}\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})\end{array}$

Confrontiamo adesso i due risultati, ovvero le due temperature di arrivo dopo le trasformazioni reversibili e irreversibili:

$\begin{array}{cc}& T_{rev}=T_0{(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}\\ & T_{irr}=T_0(1+\frac{R}{c_p}\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0})\end{array}$

Sviluppiamo la temperatura di arrivo reversibile in Taylor, ricordando che $f(x)=(1+{)}^{\alpha }$ diventa $1+\alpha (1+x{)}^{\alpha -1}{|}_{x_0}\cdot x$:

$T_{rev}=T_0(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0}\frac{\gamma -1}{\gamma })$

Esplicitando:

$\frac{\gamma -1}{\gamma }=\frac{\frac{c_p}{c_V}-1}{\frac{c_p}{c_V}}=\frac{c_p-c_V}{c_V}\frac{c_V}{c_p}=\frac{R}{c_p}$

Otteniamo proprio che:

$T_{rev}=T_0(1+\frac{\mathrm{\Delta }}{p_0}\frac{R}{c_p})=T_{irr}$

Ovvero i casi reversibile e irreversibile arrivano alla stessa temperatura! Questo ovviamente ha senso: lo sviluppo di Tayler tratta casi in cui $\mathrm{\Delta }\to 0$ è infinitesimo, quindi le due trasformazioni si avvicinano molto tra loro.