Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sulla retta

Sfruttiamo il teorema di D'Alembert per studiare il problema di Cauchy sulla retta:

$\{\begin{array}{c}{u}_{tt}-v^2{u}_{xx}=0\\ u(x,0)=u_0(x)\in C^2(ℝ)\\ u_t(x,0)=v_0(x)\in C^2(ℝ)\end{array}$

Se $u(x;t)$ è soluzione classica ed è di classe $C^2(ℝ\times ℝ)$ allora, in virtù del teorema di D'Alembert, è possibile scrivere:

$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

Questa espressione di $u(x;t)$ deve chiaramente soddisfare i dati iniziali del problema di Cauchy considerato:

$\{\begin{array}{c}{u}_0(x)=f(x)+g(x)\\ v_0(x)=-v{f}^{\prime }(x)+v{g}^{\prime }(x)\end{array}$

Da cui segue che:

$\{\begin{array}{c}f(x)+g(x)=u_0(x)\\ -f(x)+g(x)=\frac{1}{v}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{v}_0(s)ds+\alpha \end{array}$

È dunque possibile ricavare l'espressione per $f(x)$ e $g(x)$:

$\{\begin{array}{c}f(x)=\frac{1}{2}(u_0(x)-\frac{1}{v}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{v}_0(s)ds-\alpha )\\ g(x)=\frac{1}{2}(u_0(x)+\frac{1}{v}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{v}_0(s)ds+\alpha )\end{array}$

In definitiva, la soluzione del problema di Cauchy può essere scritta come:

$u(x;t)=\frac{1}{2}[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)+\frac{1}{v}\underset{x-vt}{\overset{x+vt}{\int }}{v}_0(s)ds]$

Quanto appena visto in realtà è un'applicazione diretta del seguente teorema.

Sia $u(x;t)\in C^2(ℝ\times ℝ)$ soluzione classica del problema di Cauchy:

$\{\begin{array}{c}{u}_{tt}-v^2{u}_{xx}=0\\ u(x;0)=u_0(x)\\ u_t(x;0)=v_0(x)\end{array},\text{con }{u}_0,v_0\in C^2(ℝ\times ℝ)$

Allora, l'unica soluzione del problema di Cauchy sulla retta è:

$u(x;t)=\frac{1}{2}[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)+\frac{1}{v}\underset{x-vt}{\overset{x+vt}{\int }}{v}_0(s)ds]$

Sebbene il teorema precedente abbia una portata molto ampia, è bene notare che nel caso in cui $v_0(x)=0$ allora la soluzione del problema di Cauchy sarà data da:

$u(x;t)=\frac{1}{2}[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)]$

Che può essere costruita utilizzando una funzione a gradino. In effetti, in questo caso, non si ha più regolarità nei dati iniziali e quindi la soluzione non sarà più classica: infatti viene meno una delle ipotesi del teorema precedente.

Il risultato del teorema precedente è esprimibile in forma ancor più generica, infatti lo studio del seguente problema di Cauchy:

$\{\begin{array}{c}◻u=0\\ u(x;t_0)=u_0(x)\\ u_t(x;t_0)=v_0(x)\end{array}$

porta a ricavare la seguente espressione per la soluzione:

$u(x;t)=\frac{1}{2}[u_0(x-vt)+u_0(x+vt)+\frac{1}{v}\underset{x-v(t-t_0)}{\overset{x+v(t-t_0)}{\int }}{v}_0(s)ds]$

Quanto appena detto consente di arrivare a un'importante conclusione: la soluzione dell'equazione delle onde non solo è invariante per inversioni temporali, ma anche per traslazioni temporali. Questo implica che la soluzione dell'equazione delle onde è invariante anche per trasformazioni di Lorentz.