Equazioni differenziali alle derivate parziali/Conclusioni

Torniamo al problema da cui siamo partiti:

$\{\begin{array}{c}ℒu=-{\left(p{u}^{\prime }\right)}^{\prime }+qu\\ B.C.\end{array},p\in C^1((0,L)),p(x)>0\mathrm{\forall }x\in [0,L],q\in C^0([0,L])$

Abbiamo osservato come questo problema si possa risolvere nella forma più generale $ℒu=f\in L^2([0,L])\cap C^0([0,L])$. In quest'ottica diventa un'equazione differenziale ordinaria, che può essere risolta tramite l'inversione dell'operatore $ℒ$. Ovvero, supponendo che $\lambda =0$ non sia autovalore di $ℒ$, si giunge a:

$u={ℒ}^{-1}f$

Avendo risolto esplicitamente questo problema, si è in grado di concludere che:

${ℒ}^{-1}f=\underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(xy)f(y)dy$

Con $𝒢$ funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville, data da:

$𝒢(xy)=-\frac{1}{pW}\{\begin{array}{c}{v}_1(x)v_2(y),0<x<y\le L\\ v_1(y)v_2(x),0<y<x\le L\end{array}$

Si è anche osservato che $𝒢$ è una funzione continua, differenziabile su $[0,L]\times [0,L]$ ma non sulla diagonale $x=y$ e simmetrica. Come operatore $𝒢$ pertanto è simmetrico e compatto e, in virtù dell'ipotesi preliminare, non ammette autovalore nullo. Si è anche osservato che se ${ℒ}^{-1}$ è simmetrico e compatto, ammette un sistema ortonormale completo. Da ciò segue che anche $ℒ$ ammette autovalori: essi saranno corrispondenti ai reciproci degli autovalori di ${ℒ}^{-1}=𝒢$ con stessi autovettori. Questi autovettori, per altro comuni, dunque costituiranno un sistema ortonormale completo sullo spazio di Hilbert su cui si lavora.

Completiamo il discorso sull'operatore di Sturm-Liouville andando ad analizzare il caso, scartato per ipotesi, in cui $\lambda =0$. Innanzitutto si osserva che $ℒ$ è limitato dal basso, e dunque che:

$⟨ℒu\mid u⟩\ge q_{min}$

Si ha che tutti gli autovalori di $ℒ$ saranno maggiori, o al più uguali, a questo valore $q_{min}$:

$⟨\lambda u\mid u⟩=\lambda ⟨u\mid u⟩\ge q_{min}$

Segue quindi che esisterà sicuramente un numero reale ${\mu }_0$ che non sarà autovalore di $ℒ$. Definendo l'operatore ${ℒ}_1=ℒ-{\mu }_0𝕀$ si ha che esso conserva tutte le proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville, ma non ammetterà mai autovalore nullo. Possiamo quindi applicare tutta la teoria sviluppata per $ℒ$ a ${ℒ}_1$ trattandolo come una traslazione di $ℒ$. Tutti i risultati sino ad ora ottenuti continuano a essere applicabili, col vantaggio che ${ℒ}_1$ non può ammettere autovalore nullo: quindi viene risolto anche il problema iniziale per cui era necessario supporre ${\lambda }_{ℒ}\ne 0$. In definitiva, non avendo nemmeno problemi per l'autovalore nullo, è possibile concludere che l'operatore di Sturm-Liouville ammette sempre sistema ortonormale completo costituito dai suoi autovalori.