Equazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green

Da questo punto in poi, per buona parte del corso, ci si occuperà della terza delle equazioni presentate inizialmente, ovvero l'equazione di Laplace:

$\mathrm{\Delta }u=0$

Si studieranno anche alcune proprietà di una equazione strettamente legata a quella appena scritta, ovvero l'equazione di Poisson:

$-\mathrm{\Delta }u=f$

Di entrambe le equazioni si è interessati a determinare le equazioni su un aperto $\mathrm{\Omega }\subset ℝ$. Se $\mathrm{\Omega }$ è limitato, si potrà inoltre assumere che $\partial \mathrm{\Omega }$ sia regolare. Iniziamo col presentare delle formule di importanza fondamentale per il resto della trattazione: le formule di Green.

Teorema di Gauss-Green

Sia $u\in C^1(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$. Allora:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial u}{\partial x_i}dx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }u{\hat{n}}_{i}d\sigma$

Come diretta conseguenza del teorema di Gauss-Green si ha la formula di integrazione per parti in ${ℝ}^n$:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial u}{\partial x_i}vdx=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\frac{\partial v}{\partial x_i}dx+\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }uv{\hat{n}}_{i}d\sigma$

Sia $F:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n,F\in C^1(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$, allora si ha la formula di integrazione per parti per funzioni a valori vettoriali, nota anche come teorema della divergenza.

Teorema della divergenza

Sia $F:\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^n,F\in C^1(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$. Allora:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }\underset{\_}{F}d\underset{\_}{x}=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\underset{\_}{F}\hat{n}dr$

Sfruttando i teoremi appena enunciati è possibile scrivere le formule di Green. Più precisamente siano $f\in C^1(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$ e $g\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$, allora $f\cdot \mathrm{\nabla }g$ è un campo vettoriale di classe $C^1(\mathrm{\Omega })$. La sua divergenza è data da:

$\mathrm{\nabla }(f\cdot \mathrm{\nabla }g)=\mathrm{\nabla }f\mathrm{\nabla }g+f\mathrm{\Delta }g$

Integrando su $\mathrm{\Omega }$ e applicando il teorema della divergenza si ottiene:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }\left(f\mathrm{\nabla }g\right)dx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\left(f\mathrm{\nabla }g\right)\hat{n}d\sigma =\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f\underset{\mathrm{\nabla }g\hat{n}}{\underbrace{\frac{\partial g}{\partial n}}}d\sigma =$

$=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }f\mathrm{\nabla }gdx+\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{\Delta }gdx$

Da cui si ha la prima formula di Green:

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f\frac{\partial g}{\partial n}d\sigma =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }f\mathrm{\nabla }gdx+\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{\Delta }gdx$

Se, al contrario, si avesse che $f\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }}),g\in C^1(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }})$ si potrebbe scrivere:

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }g\frac{\partial f}{\partial n}d\sigma =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }f\mathrm{\nabla }gdx+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g\mathrm{\Delta }fdx$

Supponendo che $f,g\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$ e sottraendo membro a membro l'espressione ottenuta con la prima formula di Green si ottiene la seconda formula di Green:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(f\mathrm{\Delta }g-g\mathrm{\Delta }f)dx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }(f\frac{\partial g}{\partial n}-g\frac{\partial f}{\partial n})d\sigma$

Simmetria del laplaciano

Definiamo $𝒟({\mathrm{\Delta }}_D)$ il dominio del laplaciano di Dirichlet:

$𝒟({\mathrm{\Delta }}_D)=\{u\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }}):u{\mid }_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\}$

Dalla seconda formula di Green si ricava che il laplaciano di Dirichlet è simmetrico, essendo il lato destro dell'uguaglianza che la definisce nullo:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{\Delta }gdx=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g\mathrm{\Delta }fdx$

In maniera analoga si osserva che anche il laplaciano di Neumann, definito su:

$𝒟({\mathrm{\Delta }}_N)=\{f\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }}):\frac{\partial f}{\partial n}{\mid }_{\mathrm{\Omega }}=0\}$

e il laplaciano di Robin, definito su:

$𝒟({\mathrm{\Delta }}_R)=\{f\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }}):{[\frac{\partial f}{\partial n}+\alpha f]}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0,\alpha \in C^0(\partial \mathrm{\Omega })\}$

sono simmetrici.

Le considerazioni fatte in questo modulo sono di fondamentale importanza per la trattazione dell'equazione di Laplace e per la sua risoluzione. Nei prossimi moduli ci si occuperà di una particolare classe di funzioni, soluzioni dell'equazione di Laplace: le funzioni armoniche.