Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il principio di Dirichlet

In questo modulo ci occuperemo di un principio variazionale piuttosto importante che lega le soluzioni di problemi al bordo al teorema del minimo: il principio di Dirichlet. Partiamo dalla seguente definizione.

Teorema (1 Funzionale di Dirichlet)

Si consideri l'insieme

$A_h=\{u\in C^1(\mathrm{\Omega }):u{\mid }_{\partial \mathrm{\Omega }}=h\}$

$E:A_h\to ℝ$ si definisce funzionale di Dirichlet

$E(u)=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\left|\mathrm{\nabla }u\right|}^{2}dx$

Si ha il seguente teorema.

Teorema (2 Principio di Dirichlet)

Sia $u\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^1(\bar{\mathrm{\Omega }})$, $u\in A_g$. Essa è soluzione di

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }u=0\\ u{\mid }_{\partial \mathrm{\Omega }}=g\end{array}$

Se e solo se minimizza il funzionale di Dirichlet, ovvero:

$E(u)=\underset{w\in A_g}{\min }E(w)$

Dimostrazione

Supponiamo che $u$ sia soluzione del problema al bordo, vogliamo dimostrare che $E(u)\le E(w),\mathrm{\forall }w\in A_g$. Si ha che:

$0=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\mathrm{\Delta }u)(u-w)dx=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\mathrm{\nabla }(u-w)dx=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }u{\mathrm{\nabla }}^{2}dx+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\mathrm{\nabla }wdx\le$

Dalla disuguaglianza di Schwarz:

$\le -\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }u{\mid }^{2}dx+\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\mid \mathrm{\nabla }u{\mid }^2+\mid \mathrm{\nabla }w{\mid }^2)dx=$

$=-\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }u{\mid }^{2}dx+\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }w{\mid }^{2}dx$

Da cui segue che $E(u)\le E(w),\mathrm{\forall }w\in A_g$. Viceversa, sia $E(u)\le E(w),\mathrm{\forall }w\in A_g$, si vuole dimostrare che $u$ risolve il problema al bordo dato. Si consideri il funzionale $E(w)=E(u+ϵv)$, con $v\in A_0$. Allora, fissate $u,v$, $E(u+ϵv)$ è una funzione della sola variabile $ϵ$. Inoltre si ha che essa deve avere minimo in $ϵ=0$, essendo $E(u)$ minima per ipotesi. Pertanto si avrà che tutte le derivate direzionali di $E$ saranno nulle; quindi:

$0=\frac{dE}{dϵ}{\mid }_{ϵ=0}=\frac{1}{2}\frac{d}{dϵ}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\left|\mathrm{\nabla }(u+ϵv)\right|}^{2}dx=$

$=\frac{1}{2}\frac{d}{dϵ}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\mid \mathrm{\nabla }u{\mid }^2+2ϵ\mid \mathrm{\nabla }u\mid \mid \mathrm{\nabla }v\mid +{ϵ}^2\mid \mathrm{\nabla }v{\mid }^2)dx=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }u\mid \mathrm{\nabla }v\mid dx$

Si ha quindi la seguente espressione per la derivata funzionale (o di Gateaux):

$E^{\prime }(ϵ=0)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }u\mid \mid \mathrm{\nabla }v\mid dx$

Dalla prima formula di Green con termine al bordo nullo si ha che:

$0=E^{\prime }(0)=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }v(-\mathrm{\Delta }u)dx,\mathrm{\forall }v\in A_0$

Si conclude quindi che $\mathrm{\Delta }u=0$ in $\mathrm{\Omega }$.

L'ultima uguaglianza della dimostrazione, così come molti passaggi simili visti durante i moduli precedenti, è giustificata dal teorema di annullamento.

Teorema (3 Di annullamento)

Se $f\in {ℒ}^1(\mathrm{\Omega })$ e $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fgdx=0,\mathrm{\forall }g\in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, allora $f=g$ quasi ovunque.

I risultati ottenuti in questo modulo, uniti a quelli del modulo precedente, ci permettono di studiare in maniera piuttosto completa e dettagliata tutti i problemi al bordo visti durante il corso. Infatti ora sappiamo qual è l'espressione esplicita delle soluzioni dell'equazione di Poisson; sappiamo che per ogni problema al bordo è possibile ricavare delle informazioni riguardo la sua risoluzione sfruttando la formula di rappresentazione e infine sappiamo che le proprietà di problemi al bordo di Dirichlet per il laplaciano possono essere studiate grazie al principio di Dirichlet. Nel prossimo modulo cercheremo di dare una panoramica globale dei problemi al bordo per il laplaciano andando a osservare lo stretto legame che essi hanno con i problemi agli autovalori e andando a caratterizzare un poco nel dettaglio la possibilità di usare gli autovalori del laplaciano come sistema ortonormale completo, su cui espandere in serie di Fourier le soluzioni.