Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il quoziente di Rayleigh

Nel modulo precedente si è messo in evidenza lo stretto legame che c'è tra i problemi al bordo e i problemi agli autovalori. Ora è necessario occuparsi di come trovare gli autovalori dell'operatore laplaciano e chiedersi se le corrispondenti autofunzioni possano costituire un sistema ortonormale completo o meno.

Delle importanti considerazioni in tal senso possono essere fatte grazie a una quantità detta quoziente di Rayleigh e definita come segue:

$\frac{\parallel \mathrm{\nabla }u\underset{{ℒ}^2(\mathrm{\Omega })}{\overset{2}{\parallel }}}{\parallel u{\parallel }_{{ℒ}^2(\mathrm{\Omega })}}=\frac{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid \mathrm{\nabla }u{\mid }^{2}dx}{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mid u{\mid }^{2}dx}$

Consideriamo $Y=𝒟({\mathrm{\Delta }}_D)=\{w\in C^2(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }}),w\ne 0:w{\mid }_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\}$, anche detto spazio delle funzioni di prova per il problema di Dirichlet.

Teorema (1)

Sia $u\in Y$ un punto di minimo per il quoziente di Rayleigh, ovvero:

$m=\frac{\parallel \mathrm{\nabla }u{\parallel }^2}{\parallel u{\parallel }^2}=\underset{w\in Y}{\min }\frac{\parallel \mathrm{\nabla }w{\parallel }^2}{\parallel w{\parallel }^2}$

Allora $m$ è il primo autovalore di ${\mathrm{\Delta }}_D$ con autofunzione corrispondente $u(x)$.

Il teorema appena enunciato è di fondamentale importanza nel tentativo di rispondere alla domanda che ci si era posti a inizio modulo. Infatti ora sappiamo che per poter ricavare il primo autovalore dell'operatore laplaciano è possibile cercare il punto di minimo del quoziente di Rayleigh. Rimane però aperta una questione: trovato il primo degli autovalori, esiste un modo per ricavare anche gli autovalori successivi? Effettivamente la risposta a questa domanda è affermativa, grazie al teorema seguente:

Teorema (2)

Siano $v_1,v_2,\dots ,v_{n-1}$ i primi $n-1$ autovettori di ${\mathrm{\Delta }}_D$ scelti tra loro ortogonali. Sia

$Y_n=\{w\in Y:⟨w\mid v_i⟩=0,\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n-1\}$

Se esiste $v_n$ che minimizza il quoziente di Rayleigh in $Y_n$, ovvero:

$m_n=\underset{w\in Y_n}{\min }\frac{\parallel \mathrm{\nabla }{w}_n{\parallel }^2}{\parallel w_n{\parallel }^2}=\frac{\parallel \mathrm{\nabla }{v}_n{\parallel }^2}{\parallel v_n{\parallel }^2}$

Allora l'n-simo autovalore di ${\mathrm{\Delta }}_D$ coincide esattamente con il valore $m_n={\lambda }_n$ e la corrispondente autofunzione associata sarà $v_n$.

I due teoremi enunciati hanno una portata estremamente rilevante: grazie a essi non solo possiamo concludere che è possibile determinare autovalori e autofunzioni dell'operatore laplaciano, ma abbiamo anche una maniera esplicita per poterlo fare. Ci rimane ora da chiarire se le autofunzioni che determiniamo nella maniera appena illustrata siano o meno un sistema ortonormale completo.

Teorema (3 Di monotonia degli autovalori rispetto all'insieme di definizione)

Sia ${\mathrm{\Omega }}_1\subset {\mathrm{\Omega }}_2$, allora ${\lambda }_n({\mathrm{\Omega }}_1)\ge {\lambda }_n({\mathrm{\Omega }}_2)\mathrm{\forall }n$

Questo teorema porta immediatamente a un altro teorema che garantisce che gli autovalori che si possono trovare sono effettivamente infiniti:

Teorema (4)

Sia $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ aperto e limitato, con frontiera regolare. Allora l'operatore laplaciano per cui è definito il problema agli autovalori:

$\{\begin{array}{c}-\mathrm{\Delta }u=\lambda u\\ u{\mid }_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\end{array}$

Ammette una successione infinita di autovalori con ${\lambda }_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\to }+\mathrm{\infty }$.

Il complesso dei risultati ottenuti in questo modulo ci permette di concludere che effettivamente la successione di autofunzioni dell'operatore di Dirichlet, ma analogamente si potrà dire per quello di Neumann e di Robin, costituiscono un sistema ortonormale completo

Teorema (5)

Le autofunzioni del problema di Dirichlet sono un sistema ortonormale completo su ${ℒ}^2(\mathrm{\Omega })$.

I risultati ottenuti in questo e nel modulo precedente sono di estrema importanza perché permettono di concludere che: i problemi al bordo considerati possono essere ricondotti a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano, il quale ammette una successione infinita di autofunzioni che costituisce un sistema ortonormale completo sullo spazio delle funzioni modulo-quadro integrabili e possono essere usate per sviluppare in serie di Fourier le soluzioni dei problemi al bordo considerati.