Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione delle onde sul disco

Iniziamo con lo studio di un esempio.

Vogliamo risolvere l'equazione delle onde sul disco circolare di raggio $a$, con condizioni al contorno di Dirichlet. Questo esempio modellizza il tamburo. Dunque abbiamo:

$\{\begin{array}{c}{\partial }_{tt}u-c^2\mathrm{\Delta }u=0\\ u(0,x,y)=\varphi (x,y),{\partial }_{t}u(0,x,y)=\varphi (x,y)\\ u(t,x,y){|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0,\mathrm{\Omega }=\{x^2+y^2<a^2\}\end{array}$

Il corrispondente problema agli autovalori per il laplaciano sul disco, con condizioni al bordo di Dirichlet, sarà:

$\{\begin{array}{c}-\mathrm{\Delta }v=\lambda v,\text{su}\mathrm{\Omega }\\ v{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\end{array}$

Separando le variabili avremo che:

$u(x,t)=T(t)v(x,y)$

$u(t,x)=(A\cos (\sqrt{\lambda }t)+B\sin (\sqrt{\lambda }t))v_{\lambda }(x,y)$

Studiamo quindi autovalori e autovettori sul disco. Per simmetria di $\mathrm{\Omega }$, scriviamo $\mathrm{\Delta }$ in coordinate polari. Questo ci porterà a dover effettuare la sostituzione $v(x,y)\mapsto v(r,\theta )$ e ad avere $\mathrm{\Delta }v=(\underset{rr}{\overset{2}{\partial }}+\frac{1}{r}{\partial }_r+\frac{1}{r^2}\underset{\theta \theta }{\overset{2}{\partial }})v(r,\theta )$. Anche nelle variabili angolari è possibile separare le variabili, così da poter scrivere: $v(r,\theta )=R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )$. La corrispondente equazione agli autovalori diventa:

$-[\underset{rr}{\overset{2}{\partial }}+\frac{1}{r}{\partial }_r+\frac{1}{r^2}\underset{\theta \theta }{\overset{2}{\partial }}]R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )=\lambda R(r)\mathrm{\Theta }(\theta )$

Che può essere riscritta nella forma:

$\frac{\underset{\theta \theta }{\overset{2}{\partial }}\mathrm{\Theta }(\theta )}{\mathrm{\Theta }(\theta )}=-r^2(\lambda +\frac{\underset{rr}{\overset{2}{\partial }}R(r)+\frac{1}{r}{\partial }_{r}R(r)}{R(r)})=-\gamma$

Dove l'ultima uguaglianza deriva dalla necessità di dover avere entrambi i termini dell'equazione uguali a una costante, essendo dipendenti da variabili separate. L'equazione in $\theta$ ci porta a: $\frac{d^2}{d{\theta }^2}\mathrm{\Theta }+\gamma \mathrm{\Theta }=0$. Stiamo cercando soluzioni periodiche di periodo $2\pi$, dunque ci aspettiamo tre casi:

$\gamma \{\begin{array}{c}<0,\text{la soluzione è non periodica}\\ >0\\ =0,\text{la soluzione è lineare}\end{array}$

In definitiva:

$\mathrm{\Theta }(\theta )=A\cos (\sqrt{\gamma }\theta )+B\sin (\sqrt{\gamma }\theta )$

Che ha periodo di $2\pi$ se e solo se $\gamma =n^2,n=0,1,2,\dots$. L'equazione in $r$ ci porta a: $\frac{d^2}{d{r}^2}R(r)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}R(r)+(\lambda -\frac{n^2}{r^2})R(r)=0$ per $0<r<a$. Le soluzioni di questa equazione differenziale devono soddisfare due importanti proprietà: occorre che $\underset{r\to 0}{\lim }R(r)<+\mathrm{\infty }$ e che sia soddisfatta la condizione al bordo $R(a)=0$. Dobbiamo aggiungere questa condizione perché le soluzioni del laplaciano è regolare, di classe $C^2$ dunque non divergeranno mai nell'origine. La singolarità deriva da una singolarità "fittizia" data dal passaggio in polari, tuttavia era già contenuta implicitamente nel problema di partenza. Di $\lambda$ sappiamo che è positivo, perché autovalore di ${\mathrm{\Delta }}_D$, quindi facciamo un cambio di coordinate tale per cui $r\mapsto \sqrt{\lambda }r=\rho$. Tramite questo riscalamento di variabili otteniamo una nuova equazione per $R(r)$:

$R^{\prime \prime }+\frac{1}{\rho }{R}^{\prime }+(1-\frac{n^2}{{\rho }^2})R=0,R=R(\rho )$

Le soluzioni di questa equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti non costanti hanno una forma particolare, essendo dei reciproci di monomi. Mi aspetterei dunque di trovare delle soluzioni proporzionali a monomi o a potenze, tuttavia non è possibile farlo in questo caso. Cerchiamo dunque soluzioni per serie, della forma:

$R(\rho )={\rho }^{\alpha }\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k{\rho }^k$

Dove i valori di $\alpha$ e $a_k$ vanno determinati. Presa $R(\rho )$ in questa forma e sostituita nell'equazione differenziale di cui sopra si ottiene:

$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k(k+\alpha )(k+\alpha -1){\rho }^{k+\alpha -2}+a_k(k+\alpha ){\rho }^{k+\alpha -2}+a_k{\rho }^{k+\alpha }-n^2{a}_k{\rho }^{k+\alpha -2}=$

$={\rho }^{\alpha }\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_k[(k+\alpha {)}^2-n^2]{\rho }^{k-2}+{\rho }^2\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{k-2}{\rho }^{k-2}\stackrel{!}{=}0$

Dove impongo che i coefficienti dello stesso grado siano nulli, per poter ottenere una soluzione nulla. Si ha che se $k=0$, $a_0({\alpha }^2-n^2)=0$: ma, per ipotesi, $a_0\ne 0$; dunque $\alpha =\pm n$, ma non potendo divergere in zero la soluzione, deve necessariamente essere $\alpha =n$. Le altre due relazioni che si ottengono sono:

$k=1,a_1[(1+\alpha {)}^2-n^2]=0$

$k\ge 2,a_k[(k+\alpha {)}^2-n^2]+a_{k-2}=0$

Dalla 2, si ottiene $a_1=0$; mentre dalla 3 si ottiene a $a_k=\frac{a_{k-2}}{(k+n{)}^2-n^2}$, $a_0=\frac{1}{2^{n}n!}$. In definitiva si ha che, l'unica soluzione regolare dell'equazione di Bessel $R^{\prime \prime }+\frac{1}{\rho }{R}^{\prime }+(1-\frac{n^2}{{\rho }^2})R=0$ è data da

$J_n(\rho )=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^j\frac{(\frac{\rho }{2}{)}^{n+2j}}{j!(n+j)!}$

Per cui si ha che se $\rho \gg 1$, $J_n(\rho )\simeq \sqrt{\frac{2}{\pi \rho }}\cos (\rho -\frac{\sqrt{\pi }}{4}-\frac{n\pi }{2})+𝒪({\rho }^{-3/2})$ che è una funzione oscillante; per $n$ fissato, all'infinito oscilla ancora e quindi è una soluzione con infiniti zeri. Tornando al problema originario del laplaciano sul disco, abbiamo ora la possibilità di affermare che:

$v(r,\theta )=J_n(\sqrt{\lambda }r)(A_n\cos (n\theta )+B_n\sin (n\theta )),\mathrm{\forall }n=0,1,\dots$

Tuttavia il valore di $\lambda$ è ancora impregiudicato: sappiamo soltanto che deve essere un autovalore. Per determinarlo imponiamo la condizione al bordo, ovvero richiediamo che $v(a,\theta )\stackrel{!}{=}0=J_n(\sqrt{\lambda }a)(A_n\cos (n\theta )+B_n\sin (n\theta ))$. Dunque ho che i valori di $\lambda$ ammissibili sono tutti quei ${\lambda }_n$ tali che $J_n(\sqrt{{\lambda }_n}a)=0$. La soluzione generale dell'equazione delle onde pertanto sarà data da:

$u(t,r,\theta )=\sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}{J}_0(\sqrt{{\lambda }_n}r)(C_{0m}\cos (\sqrt{{\lambda }_{0m}}t)+D_{0m}\sin (\sqrt{{\lambda }_{0m}}t))+$

$+\sum _{m,n=1}^{+\mathrm{\infty }}{J}_n(\sqrt{{\lambda }_{nm}}r)(A_{nm}\cos (n\theta )+B_{nm}\sin (n\theta ))(C_{nm}\cos (\sqrt{{\lambda }_{nm}t})+D_{nm}\sin (\sqrt{{\lambda }_{nm}t}))$