Equazioni differenziali alle derivate parziali/Dipendenza dai dati iniziali

Abbiamo risolto due problemi:

• abbiamo trovato le soluzioni periodiche dell'equazione differenziale;

  $-\frac{d^2}{d{\mathrm{\Theta }}^2}\mathrm{\Theta }(\theta )=\gamma \mathrm{\Theta }(\theta )$

• abbiamo trovato le soluzioni dell'equazione di Bessel, cercando le soluzioni di $\mathrm{\Delta }v=0$ sul disco.

Se vogliamo cercare la classe di funzioni armoniche omogenee di grado $k$ troviamo:

$f(r,\theta ,\varphi )=r^{k}f(1,\theta ,\varphi )=r^{k}g(\theta ,\varphi )$

Riformuliamo il problema in tre dimensioni passando in coordinate polari e riscrivendo l'equazione agli autovalori. Cerchiamo soluzione armoniche omogenee di grado $k$. Sostituendo nell'equazione appena scritta per $f(r,\theta ,\varphi )$ si trova:

$\mathrm{\Delta }v=r^{k-2}(k(k+1)g+\underset{\text{Parte angolare di }\mathrm{\Delta }}{\underbrace{{\mathrm{\Delta }}_{s^2}g}})=0$

Dunque dobbiamo risolvere:

$-{\mathrm{\Delta }}_{s^2}g=k(k+1)g$

Si ritrova una risultato analogo in un altro problema importante, quello della palla di centro zero e raggio $a$; ovvero quando $\mathrm{\Omega }=B(0,a)\subset {ℝ}^3$. Anche nel caso della risoluzione dell'equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno ci si trova a risolvere

$-\mathrm{\Delta }\varphi +\frac{1}{r}\varphi =\lambda \varphi$

Per la parte angolare abbiamo l'azione dell'operatore ${\mathrm{\Delta }}_{s^2}$ che ci permette di determinare le autofunzioni in $\theta ,\varphi$, anche dette armoniche sferiche.