Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà della trasformata di Fourier

Le principali proprietà della trasformata di Fourier sono riassunte dal seguente teorema.

Teorema (1)

Siano $u,v\in L^2({ℝ}^n)$. Allora valgono le seguenti proprietà:

• la trasformata di Fourier conserva i prodotti scalari, e dunque le norme in spazi di Hilbert:

  $\underset{{ℝ}^n}{\int }u\bar{v}dx=\underset{{ℝ}^n}{\int }\hat{u}\bar{\hat{v}}dx$

• ${\left({\partial }^{\alpha }u\right)}^{\stackrel{}{^}}=(ik{)}^{\alpha }\hat{u}$, $\mathrm{\forall }\alpha$ multiindice tale che ${\partial }^{\alpha }u\in L^2({ℝ}^n)$
• la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier; ovvero, date $u,v\in L^1\cap L^2$ e $u\star v(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }u(y)v(x-y)dy$ si ha che

  $(u\star v{)}^{\stackrel{}{^}}(k)=(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}\hat{u}\hat{v}$

• proprietà di inversione: ogni funzione è l'antitrasformata della sua trasformata, ovvero

  $u=(\hat{u}{)}^{\stackrel{}{ˇ}}=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{ikx}\hat{u}(k)dk$

Dimostrazione

$u,v\in L^2({ℝ}^n),\alpha \in ℂ,\parallel u+\alpha v{\parallel }_{L^2}=\parallel \hat{u}+\widehat{\alpha v}{\parallel }_{L^2}$. Questa uguaglianza tra norme può essere scritta esplicitamente come:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }[\mid u{\mid }^2+\mid \alpha v{\mid }^2+\bar{u}(\alpha v)+u(\overline{\alpha v})]dx=$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }[\mid \hat{u}{\mid }^2+\mid \widehat{\alpha v}{\mid }^2+\bar{\hat{u}}(\widehat{\alpha v})+\bar{u}(\overline{\alpha \hat{v}})]dk$

$\Rightarrow \underset{{ℝ}^n}{\int }(\alpha \bar{x}v+\bar{\alpha }u\bar{v})dx=\underset{{ℝ}^n}{\int }(\alpha \bar{\hat{u}}\hat{v}+\bar{\alpha }\hat{v}\bar{\hat{v}})dk$

Da cui si ottiene $\alpha =1,i$ che combinati linearmente danno proprio il punto 1 del teorema.

Sia $u\in {𝒞}_0^{+\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$, allora:

${\left({\partial }^{\alpha }u\right)}^{\stackrel{}{^}}(k)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-ikx}\underset{x}{\overset{\alpha }{\partial }}u(x)dx=$

$=\frac{(-1{)}^{\mid \alpha \mid }}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{x}{\overset{\alpha }{\partial }}(e^{-ikx})u(x)dx=$

$=(ik{)}^{\alpha }\hat{u}(k)$

Nello spostare l'azione di ${\partial }^{\alpha }$ su $e^{-ikx}$ si è effettuata un'integrazione per parti, in cui i termini di bordo tendono a zero a $\pm \mathrm{\infty }$ grazie al supporto compatto di $u(x)$.

Si ha che

$(u\star v{)}^{\stackrel{}{^}}(k)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-ikx}\underset{{ℝ}^n}{\int }u(z)v(x-z)dzdx=$

$=(\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-ikz}u(z)dz)\hat{v}(k)=(2\pi {)}^{n/2}\hat{u}(k)\hat{v}(k)$

Si può osservare che se $u,v\in L^2({ℝ}^n)$ allora

$\underset{{ℝ}^n}{\int }\check{u}v=\underset{{ℝ}^n}{\int }u\check{v}$

Dunque, essendo $\check{v}=\overline{(\stackrel{‾}{v}{)}^{\stackrel{}{^}}}$, si ha che

$\underset{{ℝ}^n}{\int }(\hat{u}{)}^{\stackrel{}{ˇ}}vdx=\underset{{ℝ}^n}{\int }\hat{u}\check{v}=\underset{{ℝ}^n}{\int }\hat{u}\overline{(\stackrel{‾}{v}{)}^{\stackrel{}{^}}}=\underset{{ℝ}^n}{\int }u\overline{\stackrel{‾}{u}}=\underset{{ℝ}^n}{\int }uv$