Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione del calore con Fourier

Nei moduli precedenti è stata data una panoramica introduttiva riguardo alla teoria sulla trasformata di Fourier. Si è anche detto che essa è uno strumento estremamente importante nello studio dei problemi al bordo. In questo modulo (e nei due seguenti) verranno illustrati degli esempi in cui l'uso della trasformata di Fourier è fondamentale per la determinazione esplicita delle soluzioni delle equazioni delle onde e del calore.

Proviamo a risolvere l'equazione del calore

$\{\begin{array}{c}{u}_t-\mathrm{\Delta }u=0,\text{in }(0,+\mathrm{\infty })\times {ℝ}^n\\ u(0,x)=g(x)\end{array}$

Ricordando che l'operatore $\mathrm{\Delta }$ si "comporta bene" con la trasformata di Fourier, cerchiamo un'equazione per la trasformata di Fourier spaziale di $u$.

$u(t,x)\mapsto \frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }u(t,x)e^{-ikx}dx=\hat{u}(t,k)$

Otteniamo un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

$\{\begin{array}{c}{\hat{u}}_t(t,k)+\mid k{\mid }^2\hat{u}(t,k)=0\\ \hat{u}(0,k)=\hat{g}(k)\end{array}$

la cui soluzione è una gaussiana:

$\hat{u}(t,k)=\hat{u}(0,k)e^{-t\mid k{\mid }^2}=\hat{g}(k)e^{-t\mid k{\mid }^2}$

Quindi per trovare la soluzione nelle coordinate spaziali dobbiamo applicare l'antitrasformata di Fourier:

$u(t,x)=(\hat{g}(k)e^{-t|k{|}^2})\stackrel{}{ˇ}$

Possiamo usare la proprietà della convoluzione poiché sappiamo che:

$(g\star F)\stackrel{}{^}=(2\pi {)}^{n/2}(\hat{g}(k)\cdot \hat{F})$

Quindi usando:

$\hat{F}=e^{-t|k{|}^2}\to F=\frac{1}{(2t{)}^{n/2}}{e}^{\frac{-|x{|}^2}{4t}}$

$u(t,x)=(\hat{g}(k)e^{-t|k{|}^2})\stackrel{}{ˇ}=\frac{(g(x)\star F)}{(2\pi {)}^{n/2}}$

Esplicitando la convoluzione si ottene la formula risolutiva:

$u(t,x)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{\frac{\mid x-y{\mid }^2}{4t}}g(y)dy$

che definisce la soluzione dell'equazione del calore in ogni dimensione.