Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde

In questo modulo si riprendono alcuni risultati riguardanti l'energia per le soluzioni dell'equazione delle onde, quali: conservazione, equipartizione e unicità. In particolare si utilizzeranno la trasformata di Fourier e le sue proprietà per provare che l'energia è una costante di moto.

Innanzitutto si ha la conservazione dell'energia.

Teorema (Conservazione dell'energia)

Sia $u(x,t)$ soluzione dell'equazione delle onde. Detta

$T(u)(t)=\frac{1}{2}\underset{{ℝ}^n}{\int }{\left|\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right|}^{2}dx$

l'energia cinetica dell'onda, e detta

$U(u)(t)=\frac{1}{2}{c}^2\underset{{ℝ}^n}{\int }\parallel \mathrm{\nabla }u(x,t){\parallel }^{2}dx$

la sua energia potenziale, si ha che l'energia totale dell'onda è costante sulle soluzioni dell'equazione delle onde:

$E(u)(t)=T(u)(t)+U(u)(t)=E(u)(0)$

Dal precedente teorema segue immediatamente anche l'equipartizione dell'energia.

Teorema (Equipartizione dell'energia)

Sia $u(x,t)$ soluzione dell'equazione delle onde e sia $E(u)$ la sua energia. Allora si ha che

$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }T(u)(t)=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }U(u)(t)=\frac{1}{2}E(u)(0)$

Da questi due risultati segue l'unicità dell'energia della soluzione dell'equazione delle onde.

Dimostrazione

Siano $u_1,u_2$ due soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione delle onde:

$\{\begin{array}{c}◻u_i=0\\ u_i(0,x)=f\\ {\partial }_t{u}_i(0,x)=g\end{array}\mathrm{\forall }i=1,2$

Sia ora $w=u_1-u_2$. Essa soddisferà il problema di Cauchy:

$\{\begin{array}{c}◻w=0\\ w(0,x)=0\\ {\partial }_{t}w=0\end{array}$

Dunque si ha che $E(w)(0)=0$, ma essendo l'energia una costante di moto dovrà essere che $E(w)(t)=0\mathrm{\forall }t$. Segue che:

$E(u_1)=E(u_2)$