Equazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione

Nei moduli precedenti abbiamo studiato problemi al bordo, cercando di determinare le soluzioni degli stessi. Più precisamente, si era interessati a trovare soluzioni classiche per le equazioni studiate. È importante osservare che però vi sono dei casi in cui ciò non è possibile, ovvero si possono trovare funzioni particolari che soddisfano le richieste dei problemi analizzati: per questo è necessario introdurre il concetto di distribuzione.

Si ricordi, ad esempio, che il teorema di D'Alembert afferma che la soluzione per l'equazione delle onde ha forma:

$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x-vt)+f(x+vt)]+\frac{1}{2v}\underset{x-vt}{\overset{x+vt}{\int }}g(s)ds$

Si nota che però, specie nel caso in cui $g(s)=0$, anche la somma di due funzioni a gradino coincide analiticamente con l'espressione appena data per la soluzione dell'equazione delle onde, ma non sarà soluzione; ovvero, date $f,g$ funzioni a gradino $u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ non è soluzione dell'equazione delle onde.

Problemi simili si hanno quando si cercano le soluzioni armoniche di $-\mathrm{\Delta }u=0$ in ${ℝ}^3$. Infatti, presa $u(x)=\frac{1}{4\pi \mid x\mid }+c$ l'equazione:

$-\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{4\pi \mid x\mid }\right)=0$

Non può essere risolta su ${ℝ}^3$ ma dovrà essere studiata su ${ℝ}^3\setminus \left\{0\right\}$.

Vediamo quindi che la risoluzione di problemi al bordo talvolta porta a dei problemi, per cui è necessario definire il concetto di distribuzione per cercare di ovviare a questi ed essere in grado di risolvere in maniera completa l'equazione studiata. Iniziamo enunciando il seguente lemma (Fondamentale del calcolo delle variazioni):

Il lemma appena enunciato è estremamente importante perché ci consente, nella sua forma più generale di concludere l'uguaglianza (quasi ovunque) di due funzioni semplicemente sfruttando il fatto che il loro integrale contro una funzione test è nullo, senza doverle confrontare puntualmente. Più precisamente vale la seguente osservazione.

Siano $f,g\in L_{Loc}^1(\mathrm{\Omega })$. Se

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(f-g)\varphi dx=0,\mathrm{\forall }\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$

Allora $f=g$ quasi ovunque in $\mathrm{\Omega }$.

Come già accennato sopra, la funzione $\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ che si usa per definire gli integrali di sopra è detta funzione test. Il risultato dell'osservazione appena fatta inoltre suggerisce che a ogni funzione $f$ integrabile su compatti si può associare un oggetto, che chiameremo $T_f$ definito dall'integrale di $f$ contro una funzione di test $\varphi$:

$f\mapsto T_f=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\varphi dx$

Dato che $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ è uno spazio vettoriale, si ha che $\mathrm{\forall }f$, $T_f\in {\left(C_0^{\mathrm{\infty }}\right)}^{\star }$, ovvero $T_f$ appartiene al duale algebrico di $C_0^{\mathrm{\infty }}$. Nel prossimo modulo vedremo più nel dettaglio che l'oggetto appena definito in realtà è un funzionale lineare ed è ciò che chiamiamo distribuzione. Daremo inoltre una caratterizzazione più dettagliata delle proprietà di una distribuzione.