Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:

$\sqrt[n]{A_{(x)}}\ge B_{(x)}$

Esponente dispari

$\sqrt[3]{f_{(x)}}>g_{(x)}\to f_{(x)}>g_{(x)}^3$

La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice $n$ della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla $n$ l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

Esponente pari

$\sqrt{f_{(x)}}>g_{(x)}$

In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in $ℝ$ la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:

• I valori di x per cui $g_{(x)}\ge 0$
• I valori di x per cui $g_{(x)}<0$

I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di $g(x)$ elevando all'indice della radice di $f(x)$. La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.

Si avranno quindi i seguenti sistemi:

$\{\begin{array}{c}{g}_{(x)}>0\\ f_{(x)}\ge 0\\ f_{(x)}>g_{(x)}^2\end{array}\cup \{\begin{array}{c}{g}_{(x)}\le 0\\ f_{(x)}\ge 0\\ f_{(x)}>g_{(x)}^2\end{array}$

Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di $g(x)>0$, $f(x)$ dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di $g(x)$; la terza disequazione è quindi superflua.

Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:

$\{\begin{array}{c}{g}_{(x)}>0\\ f_{(x)}>g_{(x)}^2\end{array}\cup \{\begin{array}{c}{g}_{(x)}\le 0\\ f_{(x)}\ge 0\end{array}$

In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.

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