Fisica classica/Corda vibrante

Corda vibrante

Illustration for a vibrating string

Uno dei casi più facili da studiare è la propagazione di un'onda su una corda tesa. Il modello si adatta bene alla descrizione di molti strumenti musicali a corda, nei quali viene prodotto un suono la cui frequenza è costante o come viene detto in linguaggio musicale una precisa nota. Arpe, chitarre, pianoforti e violini sono solo alcuni dei numerosi strumenti a corda. Ma anche le corde vocali si basano sulle proprietà delle corde vibranti

Se chiamiamo $L$ la lunghezza della corda, $m$ la sua massa e $T$ la sua tensione meccanica.

Quando la corda viene deflessa si piega con una forma approssimabile con un arco di cerchio. Se chiamiamo $R$ il raggio e $\theta$ l'angolo sotteso dall'arco. Si ha ovviamente che $L=\theta R$. La forza di richiamo elastico sulla corda vale:

$F=\theta T$

Tale forza è la forza centripeta quindi detta $v$ la velocità di propagazione dell'onda nella corda:

$F=m\frac{v^2}{R}$

Se chiamiamo $\mu$ la densità lineare di massa della corda (massa diviso lunghezza):

$m=\mu L=\mu \theta R$

e

$F=\mu \theta R\frac{v^2}{R}=\mu \theta v^2$

Dalla combinazione delle due espressioni della forza si ha che:

$\theta T=\mu \theta v^2$

Da cui si ricava che:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

Notiamo che avremmo potuto scrivere per il tratto infinitesimo di corda $\delta x$, che la sua massa vale:

$\mu \delta x$

Detta $\delta y$ l'allontanamento di tale tratto dalla posizione equilibrio, l'equazione differenziale che governa l'allontamento della posizione di equilibrio è (se l'allontanamento dalla posizione di equilibrio è piccolo:

$\mu \delta x\frac{{\partial }^2(\delta y)}{{\partial }^{2}t}=T\delta x\frac{{\partial }^2(\delta y)}{{\partial }^{2}x}$

$\frac{{\partial }^2(\delta y)}{{\partial }^{2}t}=v^2\frac{{\partial }^2(\delta y)}{{\partial }^{2}x}$

questa equazione è l'equazione caratteristica delle onde