Meccanica razionale/Cinematica/Punto

Template:Meccanica razionale Il moto di P è noto rispetto alla terna $O_{xyz}$ tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP}(t)$

Consideriamo il caso che il punto P si muova su di una traettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

$\{\begin{array}{c}x=x(s)\\ y=y(s)\\ z=z(s)\end{array}$

e la legge oraria

$S=S(t)$

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di 'P' lungo la 'l', cioè in qual maniera nel tempo 'P' percorre gli spazi sulla 'l'.

Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

$\frac{ds}{dt}=\dot{s}(t)$

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traettoria definita dalle (1) quando:

$\dot{s}(t)=cost$

Velocità vettoriale

Supponendo che la traiettorie di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curva nel punto P mediante le seguenti formule:

$\{\begin{array}{c}{T}_x=\frac{\frac{dx}{ds}}{\sqrt{(\frac{dx}{ds}{)}^2+(\frac{dy}{ds}{)}^2+(\frac{dz}{ds}{)}^2}}=\frac{dx}{ds}\\ T_y=\frac{dy}{ds}\\ T_z=\frac{dz}{ds}\end{array}$

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{i}{T}_x+\overrightarrow{j}{T}_y+\overrightarrow{z}{T}_z$

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

$\overrightarrow{v}=\dot{s}(t)\cdot \overrightarrow{T}$

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:

$\overline{𝐚}=\frac{d}{dt}\overline{𝐯(t)}=\frac{d}{dt}(\dot{s}\overline{𝐓})$

Eseguendo la derivazione abbiamo:

$\overline{𝐚}=\ddot{s}\overline{𝐓}+\dot{s}\frac{d}{dt}\overline{𝐓}$

e ricordando che:

$\overline{𝐓}=\frac{d}{ds}x(s)\widehat{𝐢}+\frac{d}{ds}y(s)\widehat{𝐣}+\frac{d}{ds}z(s)\widehat{𝐤}$

e derivando rispetto a t:

$\frac{d}{dt}\overline{𝐓}=\widehat{𝐢}\frac{d^2}{d{s}^2}x(s)\frac{d}{dt}s(t)+\widehat{𝐣}\frac{d^2}{d{s}^2}y(s)\frac{d}{dt}s(t)+\widehat{𝐤}\frac{d^2}{d{s}^2}z(s)\frac{d}{dt}s(t)$

$\frac{d}{dt}\overline{𝐓}=\dot{s}(\widehat{𝐢}\frac{d^2}{d{s}^2}x(s)+\widehat{𝐣}\frac{d^2}{d{s}^2}y(s)+\widehat{𝐤}\frac{d^2}{d{s}^2}z(s))$

Il vettore

$\widehat{𝐢}\frac{d^2}{d{s}^2}x(s)+\widehat{𝐣}\frac{d^2}{d{s}^2}y(s)+\widehat{𝐤}\frac{d^2}{d{s}^2}z(s)$

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

$\frac{1}{\rho }=\sqrt{{(\frac{d^2}{d{s}^2}x(s))}^2+{(\frac{d^2}{d{s}^2}y(s))}^2+{(\frac{d^2}{d{s}^2}z(s))}^2}$

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

$\overrightarrow{a}=\ddot{s}\overrightarrow{T}+\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }\overrightarrow{N}$

Il termine $\ddot{s}\overrightarrow{T}$ è l'accelerazione tengenziale, mentre il termine $\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }\overrightarrow{N}$ è l'accelerazione normale o centripeta in quanto diretta sempre secondo la normale principale alla curva traiettoria sul punto considerato.

Si chiama moto uniforme quello per cui $\dot{s}(t)=cost.$ e quindi $\ddot{s}(t)=0$, e di conseguenza l'unica accelerazione presente è quella normale.

I moti rettilinei uniformi sono quelli caratterizzati da

$\ddot{s}=0$ $\rho =inf$

per cui $\overrightarrow{a}=0$.

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