Meccanica razionale/Cinematica/Moto relativo

Teorema di Coriolis

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

$x=x(t)$

$y=y(t)$

$z=z(t)$

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

1. Parametri del moto della terna mobile.
2. Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assoluta

$O_m$,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti $u_o$, $v_o$, $w_o$ della velocità di traslazione $V_o$ del punto $O_m$ rispetto agli assi fissi, e dal vettore rotazione $\overline{\mathrm{\Omega }}$ diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti p, q, r rispetto agli assi mobili.

Se $O_f$ è l'origine degli assi fissi avremo:

$\overrightarrow{O_{f}P}=\overrightarrow{O_f{O}_m}+\overrightarrow{O_{m}P}$

La velocità assoluta è data da:

$\frac{d(\overrightarrow{O_{f}P})}{dt}=\frac{d(\overrightarrow{O_f{O}_m})}{dt}+\frac{d}{dt}(x\widehat{𝐢}+y\widehat{𝐣}+z\widehat{𝐤})=\frac{d\overrightarrow{O_f{O}_m}}{dt}+x\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+y\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+z\frac{d\widehat{𝐤}}{dt}+\dot{x}\widehat{𝐢}+\dot{y}\widehat{𝐣}+\dot{z}\widehat{𝐤}$

$\overrightarrow{V_a}=\overrightarrow{V_o}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP}+\dot{x}\widehat{𝐢}+\dot{y}\widehat{𝐣}+\dot{z}\widehat{𝐤}$

Il termine

$\overrightarrow{V_r}=\dot{x}\widehat{𝐢}+\dot{y}\widehat{𝐣}+\dot{z}\widehat{𝐤}$

di quest'ultima equazione rappresenta la velocità del punto P qualora la terna $O_{m}xyz$ fosse fissa, cioè rappresenta la velocità di P relativa alla terna mobile ed è quindi chiamata velocità relativa.

mentre il termine:

$\overrightarrow{V_t}=\overrightarrow{V_o}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP}$

rappresenta la velocità del punto P come se fosse rigidamente collegato con la terna mobile. Questo termine è noto come velocita di trascinamento $\overrightarrow{V_t}$. Concludendo possiamo dire che la velocità assoluta è data:

$\overrightarrow{V_a}=\overrightarrow{V_t}+\overrightarrow{V_r}$

Accelerazione assoluta

La derivata rispetto al tempo della formula precedente rappresenta ovviamente l'accelerazione assoluta. Pertanto:

$\overrightarrow{a_a}=\frac{d\overrightarrow{V_o}}{dt}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \frac{d\overrightarrow{OP}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}{dt}\wedge \overrightarrow{OP}+\dot{x}\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+\dot{y}\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+\dot{z}\frac{d\widehat{𝐤}}{dt}+\ddot{x}\widehat{𝐢}+\ddot{y}\widehat{𝐣}+\ddot{z}\widehat{𝐤}$

$=\frac{d\overrightarrow{V_o}}{dt}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge [(\dot{x}\widehat{𝐢}+\dot{y}\widehat{𝐣}+\dot{z}\widehat{𝐤})+(x\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+y\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+z\frac{d\widehat{𝐤}}{dt})]+\frac{d\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}{dt}\wedge \overrightarrow{OP}+\dot{x}\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+\dot{y}\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+\dot{z}\frac{d\widehat{𝐤}}{dt}+\ddot{x}\widehat{𝐢}+\ddot{y}\widehat{𝐣}+\ddot{z}\widehat{𝐤}$

Sviluppando otteniamo tre termini:

$(1)[\frac{d\overrightarrow{V_o}}{dt}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge (x\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+y\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+z\frac{d\widehat{𝐤}}{dt})+\frac{d\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}{dt}\wedge \overrightarrow{OP}]$

$(2)[\dot{x}\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+\dot{y}\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+\dot{z}\frac{d\widehat{𝐤}}{dt}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge (\dot{x}\widehat{𝐢}+\dot{y}\widehat{𝐣}+\dot{z}\widehat{𝐤})]$

$(3)[\overrightarrow{a_r}=\ddot{x}\widehat{𝐢}+\ddot{y}\widehat{𝐣}+\ddot{z}\widehat{𝐤}]$

Il primo termine, ricordando che $\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \widehat{𝐢}$ ed analoghe per $\widehat{𝐣}$ e $\widehat{𝐤}$, rappresenta l'accelerazione di trascinamento di P come rigidamente connesso con $O_m$xyz:

$\overrightarrow{a_t}=\frac{d\overrightarrow{V_o}}{dt}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge (\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP})+\frac{d\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}{dt}\wedge \overrightarrow{OP}$

Il secondo termine, ricordando sempre che $\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \widehat{𝐢}$, è quello che si chiama l'accelerazione complementare o di Coriolis:

$\overrightarrow{a_c}=2\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{V_R}$

Il terzo termine è l'accelerazione di di P rispetto ad $O_m$xyz come se questo fosse fermo nello spazio ed è, quindi, l'accelerazione relativa:

$\overrightarrow{a_r}=\ddot{x}\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+\ddot{y}\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}+\ddot{z}d\widehat{𝐤}$

Se la terna mobile si muove di moto di traslazione uniforme, cioè $\frac{d\overrightarrow{V_o}}{dt}=0$ e $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=0$, l'accelerazione assoluta del punto coincide esattamente con l'accelerazione relativa. Se la terna mobile si muove unicamente di moto traslatorio, cioè $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=0$, si ha:

$\overrightarrow{a_a}=\frac{d\overrightarrow{V_o}}{dt}+\overrightarrow{a_r}$

Qualora la terna si muova solamente di moto rotatorio uniforme rispetto ad un asse, $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=cost.$, vale:

$\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge (\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP})+\overrightarrow{a_c}+\overrightarrow{a_r}$