Meccanica razionale/Dinamica/Energia cinetica

energia cinetica di un punto materiale

Le definizioni di quantità di moto e di momento della quantità di moto sono di fondamentale importanza per la risoluzione dei problemi di dinamica.

Vediamo ora come sia importante anche la definizione di energia cinetica di una particella materiale. L'energia cinetica è la quantita scalare

(1)

$T=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)$

Lavoro di una forza

Si definisce lavoro elementare quello fatto da una forza F su una particella m data durante un suo spostamento infinitesimale ds ed espresso dalle seguenti quantità scalari:

$dL=\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{ds}=Xdx+Ydy+Zdz$

Tenendo conto che:

$\{\begin{array}{c}dx=\dot{x}dt\\ dy=\dot{y}dt\\ dz=\dot{z}dt\end{array}$

usando le relazioni date dalla II legge della dinamica sui tre assi di riferimento:

$\{\begin{array}{c}m\ddot{x}=X\\ m\ddot{y}=Y\\ m\ddot{z}=Z\end{array}$

si ottiene che:

$\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{ds}=m(\ddot{x}\dot{x}+\ddot{y}\dot{y}+\ddot{z}\dot{z})dt=d(\frac{1}{2}m{v}^2)$

Se abbiamo un sistema di particelle, avremo per un punto materiale generico $P_i$ di massa $m_i$ e di velocità $\overrightarrow{v_i}$:

$d(\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2)=\overrightarrow{F_{ei}}\times \overrightarrow{ds}+\overrightarrow{F_{ii}}\times \overrightarrow{ds}$

essendo $\overrightarrow{F_{ei}}$ e $\overrightarrow{F_{ii}}$ i risultanti delle forze esterne ed interne.

Per tutto il sistema avremo:

$dT=\sum d(\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2)=\sum _{}\overrightarrow{F_e}\times \overrightarrow{ds}+\sum \overrightarrow{F_i}\times \overrightarrow{ds}$

Integrando tra due posizioni del sistema A e B

$T_B-T_A=\sum \underset{A}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{F_e}\times \overrightarrow{ds}+\sum \underset{A}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{F_i}\times \overrightarrow{ds}$

cioè

$T_B-T_A=L_e+L_i$

La formula esprime che la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro delle forze esterne e di quelle interne agenti sul e nel sistema.

Potenziale

Molte volte nello studio della dinamica siamo portati a considerare dei sistemi di punti soggetti a forze tali che durante lo spostamento da una posizione A ad una posizione B il lavoro fatto dalle forze dipende solo dalle posizioni iniziale e finale del sistema ed è indipendente dal percorso che le varie particelle descrivono durante lo spostamento. Tali forze sono dette forze che ammettono un potenziale V(x,y,z). Cioè il lavoro è espresso da una formula del tipo:

$\underset{A}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{F_e}\times \overrightarrow{ds}=-(V_B-V_A)$

Per definizione di potenziale abbiamo:

$X=-\frac{\partial V}{\partial x}$ $Y=-\frac{\partial V}{\partial y}$ $Z=-\frac{\partial V}{\partial z}$ $ovettoriale\overrightarrow{F_e}=-gradV$

che sostituite nella formula del lavoro danno:

$-\underset{A}{\overset{B}{\int }}(\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz)=-(V_B-V_A)$

L'eqazione dell'energia nel caso di forze esterne che ammettono potenziale, si riduce alla seguente:

$(T_B-T_A)=-(V_B-V_A)$

cioè:

$T_B+V_B=T_A+V_A$

Tutti i sistemi che verificano la precedente equazione si chiamano sistemi conservativi.