Analisi matematica I/Limite/I limiti notevoli

Limite notevole con funzione esponenziale - 2

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Nessuna.

Tesi

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$

Dimostrazione

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}⟹\begin{array}{c}{a}^x-1=t;a^x=t+1\\ x={\lg }_a(t+1)\\ x\to 0\Rightarrow t\to 0\end{array}⟹\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{{\lg }_a(t+1)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{{\lg }_a(t+1)}{t}}=$

$=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{1}{t}\cdot {\lg }_a(t+1)}=\frac{1}{{\lg }_a\underset{t\to 0}{\lim }{(t+1)}^{\frac{1}{t}}}=$

In base al limite notevole $\underset{x\to x_0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$

$\frac{1}{{\lg }_a\underset{t\to 0}{\lim }{(t+1)}^{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{{\lg }_{a}e}=\ln a$