Meccanica quantistica/Concetti fondamentali

Funzione d'onda

Nella meccanica classica il comportamento di un sistema avente coordinate q è descritto dalla funzione q(t)', nota come legge oraria del moto. Tale funzione è la soluzione dell'Equazione del moto del sistema (ad esempio la seconda legge di Newton). Nella meccanica quantistica lo stato di un sistema è descritto da una funzione d'onda Ψ(q,t) complessa che è ottenuta risolvendo l'Equazione di Schrödinger.

Interpretazione statistica

Mentre l'equazione del moto della meccanica classica fornisce direttamente le informazioni sul comportamento di un sistema nel tempo in termini delle sue coordinate q, per la meccanica quantistica è possibile solo una descrizione statistica del sistema a partire dalla funzione d'onda. Ciò significa che se Ψ(q,t) è la funzione d'onda che descrive lo stato del sistema, si avrà che

$|\mathrm{\Psi }(𝐪,t){|}^{2}d𝐪$

è la probabilità che le coordinate assumano valori tra q e q + dq all'istante di tempo t. In altre parole,

$|\mathrm{\Psi }(𝐪,t){|}^2$

è la funzione densità di probabilità delle coordinate q all'istante t. In virtù di questa interpretazione, è necessario quindi che la Ψ sia normalizzata:

$\underset{Q}{\int }|\mathrm{\Psi }(𝐪,t){|}^{2}d𝐪=1$

dove Q è lo spazio delle coordinate q (l'integrale è da intendersi nel senso di Lebesgue). Ciò significa che le funzioni d'onda devono in generale essere funzioni "a quadrato integrabili" perché siano normalizzabili mediante moltiplicazione per una costante.

Operatori

In meccanica quantistica un operatore è una trasformazione lineare applicabile ad una funzione d'onda. Gli operatori della meccanica quantistica sono composizioni di somme, prodotti e derivazioni rispetto alle coordinate o al tempo. Ad ogni grandezza fisica della meccanica classica è associato un operatore hermitiano (o autoaggiunto). Dato un insieme di sistemi tutti nello stato $f(𝐪)$, a causa dell'interpretazione statistica ogni misura della stessa grandezza $A$ (a cui è associato l'operatore $\hat{A}$) può dare un risultato diverso. Tuttavia il valore di aspettazione di queste misure può essere calcolato a partire da $f$ :

$⟨A⟩=\underset{V}{\int }{f}^{*}\hat{A}fd𝐪$

Poiché gli operatori associati ad una grandezza fisica sono hermitiani, per definizione

$\underset{V}{\int }\hat{A}{f}^{*}fd𝐪=\underset{V}{\int }{f}^{*}\hat{A}fd𝐪$

quindi $⟨A{⟩}^{*}=⟨A⟩$, cioè i valori di aspettazione delle misure delle grandezze fisiche sono reali. Gli operatori più importanti sono ovviamente l'operatore posizione:

$\widehat{𝐪}=𝐪\cdot$

e l'operatore quantità di moto:

$\widehat{𝐩}=-i\hslash {\mathrm{\nabla }}_{𝐪}\cdot$

Se $G(𝐪,𝐩)$ è una grandezza dinamica il suo operatore associato è ricavabile dai due operatori posizione e momento, sostituendone le occorrenze nella definizione di $G$. Ad esempio, l'energia cinetica

$T=\frac{p^2}{2m}$

è rappresentata dall'operatore

$\hat{T}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\underset{𝐪}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}\cdot$

Spettro discreto

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro discreto:

$\mathrm{\Psi }=\sum a_n{\mathrm{\Psi }}_n{a}_n=\int {\mathrm{\Psi }}_n^{*}\mathrm{\Psi }dq$

Spettro continuo

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza $f$ con uno spettro continuo:

$\mathrm{\Psi }(q)=\int a_f{\mathrm{\Psi }}_f(q)df{a}_f=\int {\mathrm{\Psi }}_f^{*}(q)\mathrm{\Psi }(q)dq$

Operatore impulso

Operatore dell'impulso di una particella:

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

$[{\hat{p}}_i,x_j]=-i\hslash {\delta }_{ij}$

Relazioni di indeterminazione:

$\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{\Delta }{x}_i\sim \hslash$

Il valore minimo dell'indeterminazione è $\hslash /2$, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

Operatore hamiltoniano

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

$\hat{\mathscr{H}}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici ${ℰ}_n$. A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

${\mathrm{\Psi }}_n(q,t)=\exp (-\frac{i}{\hslash }{ℰ}_{n}t){\psi }_n(q)$

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo ${ℰ}_0$ dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

Matrici

Gli elementi di matrice di una grandezza $f$ sono definiti dallo sviluppo delle funzioni $\hat{f}{\psi }_n$ secondo le autofunzioni dell'energia:

$f_{mn}=\int {\psi }_m^{*}\hat{f}{\psi }_{n}dq$

Gli elementi diagonali $f_{nn}$ sono i valori medi della grandezza $f$ negli stati ${\psi }_n$

Elementi di matrice dipendenti dal tempo:

$f_{mn}(t)=f_{mn}{e}^{i{\omega }_{mn}t},{\omega }_{mn}=\frac{{ℰ}_m-{ℰ}_n}{\hslash }$