Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado

Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma

$a{x}^2+bx+c=0$

Queste possono essere di tre tipi:

• pure (quando $b=0$, quindi del tipo $a{x}^2+c=0$)
• spurie (quando $c=0$, quindi del tipo $a{x}^2+bx=0$)
• complete ($a{x}^2+bx+c=0$)

Equazioni di secondo grado pure

Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$a{x}^2+c=0$, dove quindi scompare il termine di primo grado $bx$ (quando cioè si ha che $b=0$).

Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure

L'equazione diventa quindi: $x^2=-\frac{c}{a}$.

Abbiamo due casi:

• a e c sono discordi (hanno segno diversi)
• a e c sono concordi (hanno lo stesso segno)

Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a $-\frac{c}{a}$, quindi $x_{1,2}=\mp \sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Se $a$ e $c$ sono concordi invece si ha che $\frac{c}{a}$ è un numero positivo e quindi il suo opposto, $-\frac{c}{a}$, è negativo. Si ottiene quindi: $x^2=$<numero_negativo>, ma questa equazione non ha soluzione (in $ℝ$) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo. Quindi se $-\frac{c}{a}$ è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.

Esempi

$2x^2-5=0$

$x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

$4x^2-3=0$

$x_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Equazioni di secondo grado spurie

Si dicono spurie le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma $a{x}^2+bx=0$

Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie

L'equazione si può ricondurre alla forma $x(ax+b)=0$.

Per la legge di annullamento del prodotto,

$x=0\vee ax+b=0$

$x=0\vee ax=-b$

$x=0\vee x=-\frac{b}{a}$

Le soluzioni sono quindi $x_1=0$ e $x_2=-\frac{b}{a}$

Esempio

$3x^2+8x=0$

$x_1=0$ e $x_2=-\frac{8}{3}$

Equazioni di secondo grado complete

Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$a{x}^2+bx+c=0$

Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete

Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:

$a{x}^2+bx+c=0$ con $a,b,c\in ℝ$ e $a=0,b=0,c=0$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $4a$:

$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$

Aggiungiamo quindi $b^2$ a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:

$4a^2{x}^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac$

Il secondo membro di questa equazione è chiamato discriminante, in quanto discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca $\mathrm{\Delta }$ (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:

• $\mathrm{\Delta }<0$

L'equazione non ha soluzioni in $ℝ$, in quanto la quantità $(2ax+b{)}^2$ è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.

• $\mathrm{\Delta }>0$

In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac$

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$

$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

L'equazione ha quindi due soluzioni, una $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ e una $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

• $\mathrm{\Delta }=0$

L'equazione diventa quindi $(2ax+b{)}^2=0$, cioè $(2ax+b)(2ax+b)=0$; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, $x_{1,2}=-\frac{b}{2a}$.

Esempio

$x^2+3x-10=0$

Calcoliamo il discriminante:

$\mathrm{\Delta }=3^2-(-40)=9+40=49$

A questo punto risolviamo, con $\mathrm{\Delta }>0$:

$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}$

$x_1=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado

Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione:

$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b{)}^2-(\sqrt{b^2-4ac}{)}^2}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

Applicazioni

Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:

$a{x}^2+bx+c=0$

Dividiamo entrambi i membri per a:

$\frac{a}{a}{x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Possiamo sostituire quindi $-\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$:

$x^2-(-\frac{b}{a}x)+\frac{c}{a}=0$

Cioè: $x^2-(x_1+x_2)x+(x_1\cdot x_2)=0$

Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto: $s=5$

$p=6$

$x^2-sx+p=0$

$\mathrm{\Delta }=s^2-4p$

Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.

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