Geometria per scuola elementare/Una dimostrazione di irrazionalità

Un numero razionale, in matematica, è un numero reale che può essere scritto come rapporto di due interi, vale a dire, nella forma

a/b dove a e b sono interi e b è diverso da zero.

Un numero irrazionale è invece un numero reale che non può essere scritto come rapporto di due interi, cioè, non si presenta nella forma

a/b, dove a e b sono definiti come prima.

Storia della teoria dei numeri irrazionali

La scoperta dell'esistenza di tali numeri è tradizionalmente attribuita alla scuola pitagorica, più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che esibì una dimostrazione dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$. Si racconta che Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre cercava di esprimere la radice quadrata di 2 come una frazione (si veda la dimostrazione più oltre). Tuttavia, Pitagora era convinto della assolutezza dei numeri è non poteva accettare l'esistenza di numeri irrazionali. Ma, non potendone negare l'esistenza con il ragionamento, ricorse ad un argomento che andava fuori dalla logica: ordinò a Ippaso di suicidarsi annegandosi in mare. Se questa storia fosse vera, vorrebbe dire che quello del matematico è un mestiere che può essere molto pericoloso...

Irrazionalità della radice quadrata di 2

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è il seguente ragionamento per assurdo. Si assume che la proposizione sia falsa mostrando che questo porta ad una contraddizione; questo vuol dire che la proposizione deve essere vera.

Nella dimostrazione useremo il termine coprimo: due interi sono coprimi se l'unico intero che li divide entrambi è 1.

1. Assumiamo, per assurdo, che $\sqrt{2}$ sia un numero razionale. Questo vuol dire che esistono due interi a e b tali che a / b = $\sqrt{2}$.
2. Inoltre a / b può essere scritta in modo che sia a e b siano coprimi.
3. Ovviamente si ha (a / b)² = 2.
4. Ne segue che a² / b² = 2 da cui a² = 2 b².
5. Ma allora a² è pari perché uguale al doppio di un numero intero (2b²).
6. Ne segue che anche a deve essere pari. Infatti un numero dispari, elevato al quadrato, dà un numero dispari mentre un numero pari, al quadrato, dà un numero pari.
7. Siccome a è pari, deve esistere un intero k di cui è il doppio: a = 2k.
8. Inseriamo quest'ultimo risultato nell'ultima equazione del punto 3). Avremo (2k)² = 2b² che è equivalente a scrivere 4k² = 2b² che a sua volta si può scrivere come 2k² = b².
9. Siccome 2k² è pari ne segue che anche b² è pari. Ma allora anche b è pari perché, come già visto, solo numeri pari hanno il quadrato pari.
10. Quindi da (5) e (8) sappiamo che a e b sono entrambi pari: questo contraddice il fatto che a e b siano coprimi.

Siccome siamo giunti a una contraddizione, l'assunzione (1) secondo cui $\sqrt{2}$ era un numero razionale deve essere falsa.

Quindi è vero l'opposto: $\sqrt{2}$ è irrazionale.