Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi

Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.

Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.

Raccoglimento totale

Per usare questo metodo bisogna verificare, innanzitutto, che ci siano 4 fattori con un divisore uguale a tutti e 4.

Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:

$x(a+b+c)=xa+xb+xc$

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza vale anche:

$xa+xb+xc=x(a+b+c)$

È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:

$4x^3+6xy$

Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:

$4x^3+6xy=2x\cdot 2x^2+2x\cdot 3y$

Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:

$2x\cdot 2x^2+2x\cdot 3y=2x(2x^2+3y)$

Raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio:

$ax+bx+ay+by$

per usare questo metodo devono esserci 4 o piu fattori per eseguirlo. Si raggruppano 2 a 2 i monomi e si trascrive quello più piccolo. Nella prima parententesi si raggruppa la parte uguale, nella seconda quello fuori dalle parentesi.

in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:

$ax+bx+ay+by=$

Prima su porzioni del polinomio:

$x(a+b)+y(a+b)=$

Poi su tutto il polinomio:

$(a+b)(x+y)$

Differenza di due quadrati

Consideriamo questo polinomio:

$a^2{x}^2-b^2{y}^2$

In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:

$(ax{)}^2-(by{)}^2=$

Notiamo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.

$(ax-by)(ax+by)$

Facciamo un altro esempio:

$25x^2-9y^2=$

$(5x{)}^2-(3y{)}^2=$

$(5x-3y)(5x+3y)$

Quadrato di un binomio

Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di 2 termini, aumenta (o diminuita) del loro prodotto è uguale al quadrato della somma (o differenza) dei 2 termini Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

${(a+b)}^2=a^2+ab+ba+b^2$

Consideriamo questo trinomio:

$x^2+6x+9=$

poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:

$(x{)}^2+2\cdot 3\cdot x+(3{)}^2=$

il trinomio di partenza è equivalente a:

$(x+3{)}^2$

Cubo di un binomio

Questo metodo viene utilizzato quando ci sono 4 fattori, i quali devono esserci 2 quadrati pefetti. Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Consideriamo questo quadrinomio:

$8x^3+12x^{2}y+6x{y}^2+y^3=$

poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:

${\left(2x\right)}^3+3{\left(2x\right)}^{2}y+3\left(2x\right)y^2+y^3=$

il quadrinomio di partenza è equivalente a:

${(2x+y)}^3$

Analogamente:

$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3={(a-b)}^3$

Scomposizione di trinomi di secondo grado

Se il trinomio è in questa forma:

$x^2+sx+p$

se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.

Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato $p$ e sommati diano $s$. Se riusciamo a trovarli, chiamando $n_1$ e $n_2$ questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto:

$x^2+sx+p=(x+n_1)(x+n_2)$

Ad esempio:

$x^2+7x+6$

dato che $6=6\cdot 1$ e $7=6+1$ si ottiene:

$x^2+7x+6=(x+6)(x+1)$

Somma o differenza di due cubi

Come svolgerlo: prima parentesi: - somma/differenza delle basi; seconda parentesi: -quadrato della prima base -prodotto delle basi (ricorda di cambiare segno) -quadrato della seconda base.

Consideriamo un polinomio formato dalla somma di due cubi:

$a^3+b^3$

è scomponible in:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Infatti:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3=a^3+b^3$

Facciamo un esempio:

$8x^3-y^3=(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$

In modo simile si ottiene:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Lasciamo ai lettori volenterosi la semplice dimostrazione.

Collegamenti esterni

• Template:It La Scomposizione dei Polinomi attraverso i modelli geometrici