Analisi complessa/Derivate

Definizione

La definizione di derivata per una funzione a variabile complessa ricorda formalmente quella per le funzioni reali.

Se $f:ℂ\to ℂ$ è definita in un intorno di $z_0$, la derivata è definita come:

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

se il limite esiste. In realtà la derivabilità è una condizione piuttosto restrittiva: anche funzioni apparentemente "innocue", come $f(z)=\overline{z}$ non sono derivabili.

Teoremi sulla derivazione

Continuità di funzione derivabile

Se una funzione è derivabile in un punto è anche continua nello stesso punto.

Teorema 1.2.10

Siano $f,g:A\subseteq ℂ\to ℂ$ dove:

• A è un insieme aperto
• $z_0\in A$
• $f,g$ derivabili in $z_0$

allora

1. $\frac{dc}{dz}=0$ con c costante
2. $\frac{d(cf)}{dz}=c\frac{df}{dz}$ con c costante
3. $f+g$ è derivabile e inoltre $(f+g{)}^{\prime }(z_0)=f^{\prime }(z_0)+g^{\prime }(z_0)$
4. $fg$ è derivabile e $(fg{)}^{\prime }(z_0)=f^{\prime }(z_0)g(z_0)+f(z_0)g^{\prime }(z_0)$
5. $\frac{1}{f}$ è derivabile se $f(z_0)\ne 0$ e $\left(\frac{1}{f}\right)(z_0)=-\frac{f^{\prime }(z)}{f(z{)}^2}$
6. $(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$
7. se $f:A\subseteq ℂ\to ℂ,g:f(A)\to ℂ$, $f$ derivabile in $z_0\in A$ e $g$ è derivabile in $f(z_0)$ allora:

$(f\circ g)(z_0)=g^{\prime }(f(z_0))f^{\prime }(z_0)$

Teorema 1.2.11

Sia $f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$, condizione necessaria perché $f$ sia differenziabile in $z_0$ è che valgano le condizioni di Cauchy-Riemann:

$u_x=v_y{u}_y=-v_x$

Se inoltre $u$ e $v$ hanno derivate in un intorno di $z_0$ e tali derivate sono continue in $z_0$, allora le condizioni sopra citate sono anche sufficienti, ed esiste la derivata $f^{\prime }(z_0)=u_x+i{v}_x$

Funzioni analitiche

Definizione

Una funzione è analitica o olomorfa in un insieme aperto se ha derivata in ogni punto di tale insieme. Diremo che è analitica in un punto $z_0$, e che è intera se è analitica su tutto $ℂ$. Se $f$ non è derivabile in $z_0$, ma è derivabile in qualche punto di ogni intorno di $z_0$ diremo che $z_0$ è una singolarità. Se esiste un intorno di $z_0$ tale che $f$ sia derivabile in tutto l'intorno tranne che in $z_0$ diremo che $z_0$ è una singolarità isolata.

• Si definisce dominio un insieme D aperto connesso, che possa cioè essere espresso come unione di due aperti disgiunti non vuoti. Si può dimostrare che esiste sempre una poligonale composta da un numero finito di segmenti che unisce qualsiasi coppia di punti contenuti in un dominio.

Teorema 1.2.13

Se una funzione ha derivata nulla in un dominio D, allora $f(z)=c$ costante in tutto il suo dominio.

Funzioni armoniche

Definizione

• Una funzione reale in due variabili $u(x,y)$ si dice armonica se soddisfa l'equazione di Laplace:

$u_{xx}+u_{yy}=0$.

• Una funzione $v$ si dice armonica coniugata di una funzione armonica $u$ se le due funzioni soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann.

Teorema 1.2.15

La funzione $f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ è analitica in un dominio D se e solo se $v$ è armonica coniugata di $u$