Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

Il numero razionale 22/7 ampiamente usato si approssima a π meglio del più usato 3,14. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

$\frac{22}{7}\approx 3,142857\dots$

$\pi \approx 3,141592\dots$

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi matematica.

L'idea

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$

quindi

$\frac{22}{7}>\pi .$

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

$0$	$<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx$
	$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}dx$
	$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2})dx$
	$={[\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan x]}_0^1$
	$=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi$
	$=\frac{22}{7}-\pi .$

avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.

Apparizione nella Putnam Competition

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.

Collegamenti esterni

• Il problema della Putnam competition del 1968