DirectX/Calcolo matriciale

Template:DirectX Una matrice è una tabella rettangolare di numeri reali. Ogni matrice è composta da m righe e n colonne. Ogni elemento nella matrice occupa una determinata posizione (i,j). Il numero degli elementi della matrice si ottiene moltiplicando m per n. Per trovare un oggetto nella matrice lo identifichiamo con la coppia di coordinate. L'elemento alla posizione (i,j) della matrice M sarà M_i,j, dove i è la riga, e j la colonna.

Ecco alcuni esempi di matrici:

$A=\left[\begin{array}{ccc}{M}_{1,1}& M_{1,2}& M_{1,3}\\ M_{2,1}& M_{2,2}& M_{2,3}\\ M_{3,1}& M_{3,2}& M_{3,3}\\ M_{4,1}& M_{4,2}& M_{4,3}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}0& 3.14& 3.5\\ 24& 7.5& 0\\ 1.5& 7.9& 4.4\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 3.5\end{array}\right]D=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3.5\end{array}\right]$

Mentre A è una matrice generica, B è una matrice speciale e viene detta quadrata, ossia quando m = n. Anche C e D hanno particolarità: per C, m = 1, e viene detto vettore (o matrice) riga, D invece ha n = 1 ed è detto vettore/matrice colonna.

Operazioni tra matrici

Le operazioni tra matrici sono molto simili a quelle tra vettori:

• Uguaglianza: due matrici sono uguali se per ogni elemento (i,j) della prima matrice, l'elemento (i,j) della seconda matrice ha lo stesso valore:

$\mathrm{\forall }{x}_{i,j}\in M,M=N⟺M_{i,j}=N_{i,j}$

L'uguaglianza può essere verificata solo per due matrici con lo stesso numero di righe e colonne.

• Somma: la somma si esegue elemento per elemento. Può essere calcolata solo per matrici con lo stesso numero di righe e colonne. Il risultato della somma tra due matrici è quindi una terza matrice in cui ogni elemento è la somma degli elementi nella stessa posizione delle matrici originarie:

$\left[\begin{array}{cc}1& 3.4\\ 2.2& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}4.5& 1.2\\ 3.13& 5.78\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+4.5& 3.4+1.2\\ 2.2+3.13& 3+5.78\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5.5& 4.6\\ 5.33& 8.78\end{array}\right]$

• Prodotto per scalare': come per i vettori, il prodotto tra una matrice ed uno scalare è una matrice in cui tutti gli elementi sono stati moltiplicati per lo scalare.
• Sottrazione: come per i vettori, viene definita in termini di addizione e prodotto per scalare. In particolare date M ed N matrici, M - N = M + (-1N).

Prodotto tra matrici

Questa operazione non ha simili tra i vettori ed è molto complessa. Può essere eseguita solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale a quello delle righe della seconda. Date due matrici M ed N, il loro prodotto sarà una terza matrice in cui ogni elemento (i, j) è il prodotto scalare (vedi i vettori) tra il vettore riga i della matrice M ed il vettore colonna j della seconda matrice. Esempio:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -3\\ 1& -4& 2\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ -3& 1& 4\\ 2& 0& 5\end{array}\right]$

Il prodotto AB è definito dato che A ha un numero di colonne pari al numero di righe di B. Si calcola in questo modo:

$AB=\left[\begin{array}{ccc}(2,3,-3)\cdot (1,-3,2)& (2,3,-3)\cdot (5,1,0)& (2,3,-3)\cdot (2,4,5)\\ (1,-4,2)\cdot (1,-3,2)& (1,-4,2)\cdot (5,1,0)& (1,-4,2)\cdot (2,4,5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2*1+3*-3+-3*2& 2*5+3*1+-3*0& 2*2+3*4+-3*5\\ 1*1+-4*-3+2*2& 1*5+-4*1+2*0& 1*2+-4*4+2*5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-13& 13& 1\\ 17& 1& -4\end{array}\right]$

Questa operazione gode della proprietà associativa ma non commutativa. Quindi $(AB)C=A(BC)$. Ma $AB\ne BA$

Prodotto tra vettore e matrice

Il prodotto tra vettore e matrice è possibile solo quando il numero di elementi nel vettore è uguale al numero di righe della matrice. Il prodotto tra vettore e matrice è un vettore di tanti elementi quanti nel primo vettore. Dato un vettore di n elementi, il vettore risultante sarà la somma di n vettori tali che: il primo vettore è il prodotto tra il valore scalare alla posizione 1 del vettore ed il vettore riga n. 1 della matrice, il secondo è il prodotto tra l'elemento del vettore alla posizione 2 e il vettore riga n. 2 della matrice. In altre parole: $v\cdot m=v_1\cdot m_{1,\bullet }+v_2\cdot m_{2,\bullet }+\cdots +v_n\cdot m_{n,\bullet }$ dove $m_{n,\bullet }$ indica il vettore riga numero n.

Matrici particolari

Matrice identità

La matrice identità è la matrice che moltiplicata per qualsiasi altra matrice (dove la moltiplicazione è applicabile) la lascia inalterata. La matrice identità è sempre quadrata ed è composta da tutti zeri tranne la diagonale che va da (0, 0) a (n, n), dove n è il numero di righe e colonne della matrice stessa, che sarà invece riempita di 1. Sono matrici identità:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Per qualsiasi matrice identità I vale: $AI=A$ e $IA=A$

Matrice trasposta

La trasposta di una data matrice è una seconda matrice dove sono invertite colonne e righe:

$A=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{1,1}& A_{1,2}& A_{1,3}\\ A_{2,1}& A_{2,2}& A_{2,3}\end{array}\right]A_T=\left[\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{2,1}\\ A_{1,2}& A_{2,2}\\ A_{1,3}& A_{2,3}\end{array}\right]$

Matrice inversa

Si definisce matrice inversa di una matrice M, una matrice M^-1 tale che $M{M}^{-1}=I$. Il calcolo della matrice inversa non è semplice e per quanto ci serve nemmeno utile. Esiste comunque una funzione di D3DX che ci permette di calcolare la matrice inversa di una data matrice.

DirectX e le Matrici =

Una matrice in DirectX si può definire come di tipo D3DXMATRIX. In DirectX tutte le matrici sono sempre quadrate di lato 4. In altre parole ogni D3DXMATRIX ha sempre 4 righe e 4 colonne. La classe D3DXMATRIX è molto completa e fornisce operatori di uguaglianza, somma sottrazione, moltiplicazione per costante e per altra matrice. Ci sono inoltre 4 funzioni che svolgono altri compiti:

D3DXMATRIX *D3DXMatrixIdentity(D3DXMATRIX *pOut);
D3DXMATRIX *D3DXMatrixTranspose(D3DXMATRIX *pOut, D3DXMATRIX *pM);
D3DXMATRIX *D3DXMatrixInverse(D3DXMATRIX *pOut, float *pDeterminant, D3DXMATRIX *pM);
D3DXVECTOR4 *D3DXVec4Transform(D3DXVECTOR4 *pOut, D3DXVECTOR4 *pV, D3DXMATRIX *pM);

• D3DXMatrixIdentity prende un puntatore a matrice come argomento e trasforma quella matrice nella matrice identità.
• D3DXMatrixTranspose genera la matrice trasposta di una data matrice M. Come primo parametro vuole il puntatore alla matrice dove verrà messo il risultato e come secondo, la matrice originale.
• D3DXMatrixInverse genera la matrice inversa di una data matrice M. Funziona come Transpose.
• D3DXVec4Transfor moltiplica un vettore per una matrice ottenendo un nuovo vettore. Come argomenti vuole il puntatore al vettore risultato, il vettore da moltiplicare e la matrice da moltiplicare.

Terminato il modulo sulle matrici non posso che suggerire di allenarsi su fogli di carta o scrivere piccoli programmi per fissare questi concetti fondamentali per la computer graphics. Template:Avanzamento