Fondamenti di automatica/Sistemi

Forma canonica dei sistemi

Un sistema generico non lineare MIMO (Multiple-Input Multiple-Output), variante nel tempo e proprio è descritto dalle equazioni:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=f_s(x(t),u(t),t)\\ y(t)=f_u(x(t),u(t),t)\end{array}$

dove:

• $x(t)\in \mathrm{\Re }\to {\mathrm{\Re }}^{n_x}$ è il vettore di stato;
• $u(t)\in \mathrm{\Re }\to {\mathrm{\Re }}^{n_u}$ è il vettore di ingresso;
• $t\in \mathrm{\Re }$ è il tempo;
• $y(t)\in \mathrm{\Re }\to {\mathrm{\Re }}^{n_y}$ è il vettore di uscita;
• $f_s(\cdot )$ e $f_u(\cdot )$ sono campi vettoriali (che si suppongono normalmente analitici).

Si considera poi $t_0$ l'istante iniziale e $x(t_0)$ lo stato iniziale (che spesso si suppone noto).

$x^{\prime }(t)=f_s(x(t),0,t)$ è detto movimento libero dello stato (l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale per ingresso nullo);

$x^{\prime }(t)=f_s(0,u(t),t)$ è detto movimento forzato dello stato (l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale nullo);

Classificazione dei sistemi

I sistemi dinamici descritti precedentemente in forma canonica possono essere classificati in vari modi sulla base delle proprietà delle funzioni $f_s(\cdot )$ e $f_u(\cdot )$

Si dicono sistemi monovariabili o SISO i sistemi dotati di una sola variable di ingresso e di una sola variabile di uscita scalari ( $y(t)\in \mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },u(t)\in \mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re }$ );

i sistemi con più ingressi o uscite si dicono sistemi multivariabili o MIMO

Sono sistemi strettamente propri i sistemi la cui uscita dipende solo dallo stato e non dipende dall'ingresso ($y(t)=f_u(x(t),t)$); sistemi per cui l'uscita dipende anche dall'ingresso direttamente sono detti sistemi propri; sistemi propri possono essere trasformati in un sistema strettamente proprio equivalente aggiungendo una variabile allo stato

Un sistema è tempo-invariante o stazionario se l'evoluzione dell'uscita e dello stato in un dato istante non dipende dal tempo in cui quell'istante si colloca, ovvero le funzioni $f_s(\cdot )$ e $f_u(\cdot )$ non dipendono dalla variabile tempo $t$;

Un sistema è lineare quando sia l'uscita che la variazione dello stato sono combinazioni lineari dell'ingresso e dello stato; per un sistema lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti

Linearizzazione

È spesso preferibile trattare problemi lineari, esistono metodi per ricondurre sistemi non lineari a sistemi lineari

Se supponiamo che le funzioni $f_s()$ e $f_u()$ siano sufficientemente regolari nell'intorno di un punto $(x(t_0),0,t_0)$ è possibile approssimarle nell'intorno di quel punto con il loro sviluppo di Taylor arrestato al termine di primo grado.

Se ci troviamo a trattare problemi non lineari, ci si restringe nell'intorno di un punto di equilibrio del sistema, ovvero tale che $x^{\prime }(t)=0$, e si approssimano tutte le funzioni a funzioni lineari.

Si suppone che i coefficienti del sistema non varino nel tempo.

Sistemi lineari che abbiano più di un ingresso o più di un'uscita possono sempre essere espressi come composizione di sistemi SISO, in quanto è valido il principio di sovrapposizione degli effetti

Quando è possibile ci si riconduce a sistemi lineari tempoinvarianti SISO.