Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici

Template:Fondamenti di automatica2 Per rappresentare un sistema dinamico termico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:

1. scrivere le equazioni dinamiche di equilibrio termico per ogni corpo omogeneo non termostatato avente capacità termica $C_i$ e temperatura assoluta ${\theta }_i$;
2. introdurre una variabile di stato per ogni corpo omogeneo non termostatato di capacità termica $C_i$, scegliendo in particolare la temperatura assoluta ${\theta }_i$;
3. associare una variabile di ingresso ad ogni portata di calore esterna applicata al sistema termico, e ad ogni temperatura assoluta di un corpo omogeneo ideale termostatato (in quanto imposta dal mondo esterno);
4. ricavare le equazioni di stato del tipo:

   ${\dot{x}}_i\left(t\right)=f_i(t,x\left(t\right),u\left(t\right))$

a partire dalle precedenti equazioni dinamiche di equilibrio termico;

5. ricavare le equazioni di uscita del tipo:

$y_k\left(t\right)=g_k(t,x\left(t\right),u\left(t\right))$

Equazioni dinamiche di equilibrio termico

Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (= la temperatura assoluta ${\theta }_i$ non è imposta dall'esterno) di capacità termica $C_i$ vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore:

$C_i{\dot{\theta }}_i\left(t\right)=\sum _{{}_k}{p}_k^{\text{est}}\left(t\right)-\sum _{{}_j^{j\ne i}}{p}_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)$

Il segno meno indica che le portate di calore interne $p_{ij}^{\text{int}}$ trasmettono il calore agli altri corpi $C_j$, riducendo la portata termica d'inerzia di $C_i$.

Portate di calore esterne

Le portate di calore esterne $p_k^{\text{est}}$ tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo $C_i$ e compaiono con:

• segno positivo se forniscono calore al corpo (generatori di calore, effetto Joule, combustione);
• segno negativo se prelevano calore dal corpo (refrigeratori, pompe di calore).

L'equazione dinamica della temperatura di un corpo puntiforme di capacità termica $C$ dovuto a una portata di calore $p\left(t\right)$ applicata è:

$C\dot{\theta }\left(t\right)=p(t)$

Portate di calore interne

Le portate di calore interne $p_{ij}^{\text{int}}$ tengono conto dell'interazione tra il corpo $C_i$ considerato e gli altri corpi $C_j$ tramite conduttori termici ideali di conduttanza termica $K_{ij}$:

$p_{ij}^{\text{int}}(t)=K_{ij}[{\theta }_i(t)-{\theta }_j(t)]$