Fondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici

Template:Fondamenti di automatica2 La linearizzazione di un sistema dinamico non lineare stazionario ne approssima, mediante lo sviluppo di Taylor del primo ordine, il comportamento a un modello dinamico lineare, detto sistema dinamico linearizzato.

Linearizzazione di sistemi a tempo continuo

Il sistema dinamico linearizzato può essere espresso in funzione delle perturbazioni $\delta x(t)$, $\delta u(t)$ e $\delta y(t)$ dall'intorno del movimento nominale di riferimento ($\tilde{x}(t)$, $\tilde{u}(t)$, $\tilde{y}(t)$):

$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))\\ y(t)=g(x(t),u(t))\\ x(t=0)=x_0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{cc}\dot{\delta x}(t)=A(t)\delta x(t)+B(t)\delta u(t),& x(t)=\tilde{x}(t)+\delta x(t)\\ \delta y(t)=C(t)\delta x(t)+D(t)\delta u(t),& y(t)=\tilde{y}(t)+\delta y(t)\\ \delta x(t=0)=x(t=0)-{\tilde{x}}_0,& u(t)=\tilde{u}(t)+\delta u(t)\end{array}$

dove le matrici $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$ e $D(t)$ sono le matrici jacobiane di $f(x,u)$:

• $A(t)$ e $C(t)$ sono jacobiani di $f$ rispetto ad $x$:

  $A(t)={\frac{\partial f(x,u)}{\partial x}|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right]|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}\in {ℝ}^{n\times n}$

  $C(t)={\frac{\partial g(x,u)}{\partial x}|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial g_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial g_q}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial g_q}{\partial x_n}\end{array}\right]|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}\in {ℝ}^{q\times n}$

• $B(t)$ e $D(t)$ sono jacobiani di $f$ rispetto ad $u$:

  $B(t)={\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial u_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial u_p}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial u_1}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial u_p}\end{array}\right]|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}\in {ℝ}^{n\times p}$

  $D(t)={\frac{\partial g(x,u)}{\partial u}|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial g_1}{\partial u_1}& \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial u_p}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial g_q}{\partial u_1}& \cdots & \frac{\partial g_q}{\partial u_p}\end{array}\right]|}_{x=\tilde{x},u=\tilde{u}}\in {ℝ}^{q\times p}$

Se il movimento nominale è un punto di equilibrio $(\overline{x},\overline{u})$, allora le matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ del sistema linearizzato sono costanti e il sistema linearizzato è LTI:

$\{\begin{array}{c}\dot{\delta x}(t)=A\delta x(t)+B\delta u(t)\\ \delta y(t)=C\delta x(t)+D\delta u(t)\end{array}$

Linearizzazione di sistemi a tempo discreto

Il sistema dinamico linearizzato può essere espresso in funzione delle perturbazioni $\delta x(k)$, $\delta u(k)$ e $\delta y(k)$ dall'intorno del movimento nominale ($\tilde{x}(k)$, $\tilde{u}(k)$, $\tilde{y}(k)$):

$\{\begin{array}{c}x(k+1)=f(x(k),u(k))\\ y(k)=g(x(k),u(k))\\ x(k=0)=x_0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{cc}\delta x(k+1)=A(k)\delta x(k)+B(k)\delta u(k),& x(k)=\tilde{x}(k)+\delta x(k)\\ \delta y(k)=C(k)\delta x(k)+D(k)\delta u(k),& y(k)=\tilde{y}(k)+\delta y(k)\\ \delta x(k=0)=x(k=0)-{\tilde{x}}_0,& u(k)=\tilde{u}(k)+\delta u(k)\end{array}$

Se il movimento nominale è un punto di equilibrio $(\overline{x},\overline{u})$, allora le matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ del sistema linearizzato sono costanti e il sistema linearizzato è LTI:

$\{\begin{array}{c}\delta x(k+1)=A\delta x(k)+B\delta u(k)\\ \delta y(k)=C\delta x(k)+D\delta u(k)\end{array}$